рисуем монаду
Aug. 9th, 2013 01:56 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
thedeemonСегодня в нашем кружке "теоркат для самых маленьких" урок рисования. Будем рисовать монаду. (А то весной кое-кто писал "если монаду нельзя нарисовать, то её нет".)
Для начала нарисуем что-нибудь совсем простое. Палка, палка, огуречик - получился моноид. Моноид состоит из множества (вообще-то необязательно, может быть и штука побольше чем множество), бинарной ассоциативной операции на нем и выделенного элемента, называемого единицей. Бинарная операция берет любые два элемента из этого множества и выдает какой-нибудь один элемент оттуда же.
Она должна быть ассоциативной, т.е. (a*b)*c = a*(b*c):
Тут мы используем нечто вроде фейнмановских диаграмм, где время на рисунке идет снизу-вверх. В самом низу - что было, в самом верху - что получилось, в середине всякие превращения.
Единица моноида - это такой элемент, на который если умножать что угодно слева или справа, получится то, что умножали:
Примеры моноидов: (целые числа, умножение, 1), (целые числа, сложение, 0), (строки, конкатенация, ""), (натуральные числа, максимум, 0) и т.д.
Категория состоит из набора объектов и набора стрелок между ними, функтор отображает одну категорию в другую, сохраняя рисунок стрелок. Если функторы F и G оба отображают категорию C в категорию D, бывает, что можно построить отображение функтора F в функтор G, тоже сохраняющее структуру, такое отображение h называется естественным преобразованием:
Давайте возьмем этот рисунок и применим двойственность Пуанкаре, где k-мерные штуки превращаются в (n-k)-мерные. Возьмем n=2. Категории C и D были нульмерными точками, станут двумерными фигурами. Функторы были одномерными линиями, такими и останутся. Естественное преобразование было двумерной полосой, станет нульмерной точкой. Получим такой вот рисунок, называемый струнной диаграммой:
В такой диаграмме используется вся площадь рисунка. Функторы теперь изображаются не стрелками, а линиями, по разные стороны от которых находятся заливающие пространство рисунка категории, которые этот функтор отображает одну в другую. Что во что отображается определяется направлением. В данном случае слева-направо, в последующих картинках будет справа-налево. Естественное преобразование из одного функтора в другое стало точкой, их соединяющей. Опять же, что во что отображается показано направлением: снизу-вверх.
Что такое монада? Это, во-первых, эндофунктор, т.е. функтор из одной категории в нее же. Назовем его Т. Во-вторых, это пара естественных преобразований μ (от слова мюльтипликейшн) и эта, как ее, в общем, η. Первое превращает Т*Т в Т, второе 1 (identity functor, отображающий категорию саму в себя вообще без изменений) в Т.
Во всяких хаскелях вместо μ (он же join) используют bind (он же >>=), они друг через друга легко выражаются. η в хаскелях известно под именем return.
Конечно, преобразования это не любые, а подчиняющиеся определенным законам. Которые часто изображают в виде требования коммутирования таких вот диаграмм:
Альтернативные пути из точки А в точку Б на таких диаграммах показывают, какие стрелки и их композиции должны быть равны между собой. Например, тут говорится, что неважно, с какой стороны мы к Т добавляем η-й еще один Т, все равно применение к полученному Т2 μ дает тот же самый Т.
В данных диаграммах точки означают эндофункторы, а стрелки - естественные преобразования. Подвергнем их той же процедуре дуализации, получим струнные диаграммы:
Теперь естественные преобразования стали жирными точками, а категории - двумерным пространством. Единичный функтор, ничего не делающий, мы обозначим 1, но линию проводить не будем. А теперь сравните эти рисунки с рисунками про законы моноида. Это абсолютно те же самые рисунки, просто с другими обозначениями! Ибо воистину, монады образуют моноид, у которого "множество" - это "множество" эндофункторов в некоторой категории, умножение - их композиция, а единица - единичный функтор (Identity). (Upd: тут я несколько наврал, см. исправления в комментариях.) Классическая цитата "monads are monoids in the category of endofunctors" имеет довольно простой смысл.
Монаду нарисовали, до перемены еще есть время, давайте нарисуем сопряженные функторы. Пусть у нас есть категории C и D и функторы G : C -> D и F : D -> C (теперь это не обязательно эндофункторы, C и D могут быть реально разными категориями).
При определенных условиях эти два функтора называются сопряженными. Условия эти могут быть сформулированы по-разному, например так. Должны существовать естественные преобразования
ε : FG -> 1,
η : 1 -> GF,
называемые counit и unit, такие, что поочередное их применение в разном порядке эквивалентно identity transformation, т.е. композиция F -> FGF -> F равна id, и G -> GFG -> G тоже. Нарисуем ε и η в виде струнных диаграмм:
и изобразим требования к их композиции в виде равенства диаграмм:
Из этих кирпичиков мы можем сложить рисунок побольше:
Тут GFGF применением ε к средней паре превращается в GF. Если мы обозначим композицию GF как Т, то получим преобразование TT -> T, аналогичное монадному μ.
Теперь построим еще больше картинку, и применим interchange rule, позволяющее двигать части картинки туда-сюда, не нарушая ее структуры. Потянув левую точку слияния вверх, а правую вниз, мы получим картинку, где порядок применения преобразований поменялся, но результат остался тем же.
Фактически, мы получили правило ассоциативности μ для T=GF, в точности как на левой картинке про монадные законы и на картинке про ассоциативность бинарной операции в моноиде.
Теперь построим картинку с использованием η и ε.
Cогласно законам сопряженных функторов, левую загогулину GFG можно выпрямить в одну линию G, тогда получим просто композицию GF, т.е. Т. Аналогично, в симметричной картинке можно выпрямить правую загогулину FGF до просто F, чтобы в итоге получилась та же T = GF. Так мы получили картинку, аналогичную правой части картинки про монадные законы, т.е. выполнение свойств единицы, 1 * Т = Т = Т * 1. Таким образом, композиция GF сопряженных функторов дает нам не просто эндофунктор T, а самую настоящую монаду.
При желании струнные диаграммы расширяются в третье измерение, получаются всякие такие доказательства:
Но об этом я вам не расскажу.
На этом все, всем успехов на приближающемся ICFPC!
Для начала нарисуем что-нибудь совсем простое. Палка, палка, огуречик - получился моноид. Моноид состоит из множества (вообще-то необязательно, может быть и штука побольше чем множество), бинарной ассоциативной операции на нем и выделенного элемента, называемого единицей. Бинарная операция берет любые два элемента из этого множества и выдает какой-нибудь один элемент оттуда же.
Она должна быть ассоциативной, т.е. (a*b)*c = a*(b*c):
Тут мы используем нечто вроде фейнмановских диаграмм, где время на рисунке идет снизу-вверх. В самом низу - что было, в самом верху - что получилось, в середине всякие превращения.
Единица моноида - это такой элемент, на который если умножать что угодно слева или справа, получится то, что умножали:
Примеры моноидов: (целые числа, умножение, 1), (целые числа, сложение, 0), (строки, конкатенация, ""), (натуральные числа, максимум, 0) и т.д.
Категория состоит из набора объектов и набора стрелок между ними, функтор отображает одну категорию в другую, сохраняя рисунок стрелок. Если функторы F и G оба отображают категорию C в категорию D, бывает, что можно построить отображение функтора F в функтор G, тоже сохраняющее структуру, такое отображение h называется естественным преобразованием:
Давайте возьмем этот рисунок и применим двойственность Пуанкаре, где k-мерные штуки превращаются в (n-k)-мерные. Возьмем n=2. Категории C и D были нульмерными точками, станут двумерными фигурами. Функторы были одномерными линиями, такими и останутся. Естественное преобразование было двумерной полосой, станет нульмерной точкой. Получим такой вот рисунок, называемый струнной диаграммой:
В такой диаграмме используется вся площадь рисунка. Функторы теперь изображаются не стрелками, а линиями, по разные стороны от которых находятся заливающие пространство рисунка категории, которые этот функтор отображает одну в другую. Что во что отображается определяется направлением. В данном случае слева-направо, в последующих картинках будет справа-налево. Естественное преобразование из одного функтора в другое стало точкой, их соединяющей. Опять же, что во что отображается показано направлением: снизу-вверх.
Что такое монада? Это, во-первых, эндофунктор, т.е. функтор из одной категории в нее же. Назовем его Т. Во-вторых, это пара естественных преобразований μ (от слова мюльтипликейшн) и эта, как ее, в общем, η. Первое превращает Т*Т в Т, второе 1 (identity functor, отображающий категорию саму в себя вообще без изменений) в Т.
Во всяких хаскелях вместо μ (он же join) используют bind (он же >>=), они друг через друга легко выражаются. η в хаскелях известно под именем return.
Конечно, преобразования это не любые, а подчиняющиеся определенным законам. Которые часто изображают в виде требования коммутирования таких вот диаграмм:
Альтернативные пути из точки А в точку Б на таких диаграммах показывают, какие стрелки и их композиции должны быть равны между собой. Например, тут говорится, что неважно, с какой стороны мы к Т добавляем η-й еще один Т, все равно применение к полученному Т2 μ дает тот же самый Т.
В данных диаграммах точки означают эндофункторы, а стрелки - естественные преобразования. Подвергнем их той же процедуре дуализации, получим струнные диаграммы:
Теперь естественные преобразования стали жирными точками, а категории - двумерным пространством. Единичный функтор, ничего не делающий, мы обозначим 1, но линию проводить не будем. А теперь сравните эти рисунки с рисунками про законы моноида. Это абсолютно те же самые рисунки, просто с другими обозначениями! Ибо воистину, монады образуют моноид, у которого "множество" - это "множество" эндофункторов в некоторой категории, умножение - их композиция, а единица - единичный функтор (Identity). (Upd: тут я несколько наврал, см. исправления в комментариях.) Классическая цитата "monads are monoids in the category of endofunctors" имеет довольно простой смысл.
Монаду нарисовали, до перемены еще есть время, давайте нарисуем сопряженные функторы. Пусть у нас есть категории C и D и функторы G : C -> D и F : D -> C (теперь это не обязательно эндофункторы, C и D могут быть реально разными категориями).
При определенных условиях эти два функтора называются сопряженными. Условия эти могут быть сформулированы по-разному, например так. Должны существовать естественные преобразования
ε : FG -> 1,
η : 1 -> GF,
называемые counit и unit, такие, что поочередное их применение в разном порядке эквивалентно identity transformation, т.е. композиция F -> FGF -> F равна id, и G -> GFG -> G тоже. Нарисуем ε и η в виде струнных диаграмм:
и изобразим требования к их композиции в виде равенства диаграмм:
Из этих кирпичиков мы можем сложить рисунок побольше:
Тут GFGF применением ε к средней паре превращается в GF. Если мы обозначим композицию GF как Т, то получим преобразование TT -> T, аналогичное монадному μ.
Теперь построим еще больше картинку, и применим interchange rule, позволяющее двигать части картинки туда-сюда, не нарушая ее структуры. Потянув левую точку слияния вверх, а правую вниз, мы получим картинку, где порядок применения преобразований поменялся, но результат остался тем же.
Фактически, мы получили правило ассоциативности μ для T=GF, в точности как на левой картинке про монадные законы и на картинке про ассоциативность бинарной операции в моноиде.
Теперь построим картинку с использованием η и ε.
Cогласно законам сопряженных функторов, левую загогулину GFG можно выпрямить в одну линию G, тогда получим просто композицию GF, т.е. Т. Аналогично, в симметричной картинке можно выпрямить правую загогулину FGF до просто F, чтобы в итоге получилась та же T = GF. Так мы получили картинку, аналогичную правой части картинки про монадные законы, т.е. выполнение свойств единицы, 1 * Т = Т = Т * 1. Таким образом, композиция GF сопряженных функторов дает нам не просто эндофунктор T, а самую настоящую монаду.
При желании струнные диаграммы расширяются в третье измерение, получаются всякие такие доказательства:
Но об этом я вам не расскажу.
На этом все, всем успехов на приближающемся ICFPC!
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2013-08-10 09:17 am (UTC)Предлагаю немного подумать над тем, почему в моноидальной категории абелевых групп, просто любой морфизм A⊗A→A — это кольцо.
Ну а моноид в этой моноидальной категории, это ассоциативное кольцо с единицей.
no subject
Date: 2013-08-10 12:05 pm (UTC)Потому что забывающий функтор имеет сопряженный, и, соответственно, любая A⊗A→A имеет семантику бинарной операции, согласованной с порождающей категорию структурой?
Собственно, подобное утверждение должно выполняться для всех категорий, которые имеют сохраняющий пределы функтор в некоторую декартово замкнутую категорию. В этом случае мы можем "каррировать" A⊗B→C во внутреннем языке категории, в которую ведет функтор.
no subject
Date: 2013-08-10 12:31 pm (UTC)Из колец в абелевы группы, что ли??
Ну допустим, имеет левый сопряжённый и мы можем сделать своеобразное "свободное кольцо", но как их этого следует то, что _любой_ морфизм A⊗A→A задаёт структуру кольца?
Я предлагал просто рассмотреть тензорное произведение и убедиться, что в данном случае мы получаем, во-первых, бинарную операцию умножения, и во-вторых, она дистрибутивна.
Какие утверждения "подобные", я не понял.
Например, что моноид в моноидальной категории R-модулей задаёт R-алгебру, это подобное утверждение или не очень? ;-)
А про "каррировать", то это ближе к рассуждениям около определения модуля над моноидом в моноидальной категории.
no subject
Date: 2013-08-10 12:50 pm (UTC)из групп в Set. Нам же каррировать A*A -> A надо.
> но как их этого следует то, что _любой_ морфизм A⊗A→A задаёт структуру кольца?
Если есть сохраняющий пределы функтор в декартово замкнутую категорию (забывающий из групп в Set в данном случае), то этот морфизм является бинарной операцией, причем при фиксации одного аргумента получаем обычный морфизм (именно это нам и дает каррирование) - то есть операция согласована с порождающей категорию структурой. В данном случае она согласована с групповой операцией - сложением, то есть дистрибутивна относительно него.
> Я предлагал просто рассмотреть тензорное произведение и убедиться, что в данном случае мы получаем, во-первых, бинарную операцию умножения, и во-вторых, она дистрибутивна.
Ну да. И это все верно для любой категории из которой можно построить нужный функтор.
> Какие утверждения "подобные", я не понял.
Например, в случае топологического пространства любой морфизм A*A -> A будет "непрерывным группоидом" :)
> Например, что моноид в моноидальной категории R-модулей задаёт R-алгебру, это подобное утверждение или не очень?
Ну, видимо, да. Любой морфизм A*A->A тут задает билинейное отображение, то есть делает модуль алгеброй над кольцом.
> А про "каррировать", то это ближе к рассуждениям около определения модуля над моноидом в моноидальной категории.
каррирование требуется, чтобы морфизм имел семантику операции от двух аргументов. Если оно не "каррируется" (хотя бы потенциально, через функтор), то у нас что-то сломается. Грубо говоря такое "потенциальное каррирование" говорит нам, что считать A*B->С функцией от двух элементов осмысленно. И даже предоставляет некоторый конструктивный способ это делать :)
no subject
Date: 2013-08-10 01:21 pm (UTC)А какие именно пределы предполагается сохранять?
Тензорное произведение — копредел.
> то есть операция согласована
> с порождающей категорию структурой
Если б мы забывали из кольца в абелевы группы (ну или вообще во множества), то можно было бы говорить про монады и алгебры над ними, как "согласованные" операции.
Но ведь не это подразумевается...
> в случае топологического пространства
Это один из стандартных примеров моноида в моноидальной категории. В данном случае, произведение декартовое и можно определить даже (топологическую) группу.
Но что это иллюстрирует?
> Если оно не "каррируется"
Ну в Set, очевидно, каррируется.
И даже обратно можно что-то свободно собрать.
Но этим не получишь любые морфизмы A⊗A→A в категории абелевых групп.
В самой категории абелевых групп тоже ничо такого не получится —она _не_ (моноидальная) замкнутая!
Это какбе причина, почему оно не топос.
Видимо, это слишком сложно для меня.
no subject
Date: 2013-08-10 05:54 pm (UTC)Тензорное произведение — копредел.
Так они для конечного числа абелевых групп изоморфны, не? А у нас группы две, то есть число конечное.
> Если б мы забывали из кольца в абелевы группы (ну или вообще во множества), то можно было бы говорить про монады и алгебры над ними, как "согласованные" операции.
А тут в чем проблема?
> Но что это иллюстрирует?
Ну то же самое что и пример с кольцами. Не знаю, что он должен был иллюстрировать :)
> Но этим не получишь любые морфизмы A⊗A→A в категории абелевых групп.
А зачем?
> В самой категории абелевых групп тоже ничо такого не получится —она _не_ (моноидальная) замкнутая!
Оно, конечно, да, потому нам и нужен функтор в замкнутую категорию, который "осмыслит" A*B. Дело на самом деле в том, что если такой функтор есть, то это значит, что категория _может_ быть замкнутой, то есть если мы насуем туда экспоненциалов, то она не сломается. Хотя на деле этих экспоненциалов может и не быть. Но нам это не важно - пусть будут виртуальными. Ну как с мнимыми числами, когда мы в промежуточных результатах получаем комплексные числа, а результат - чисто действительный. Тот же принцип.
Хотя тут еще, наверное, важна полнота категории.
no subject
Date: 2013-08-11 04:24 am (UTC)> Так они для конечного числа абелевых групп изоморфны, не?
> А у нас группы две, то есть число конечное.
Кто на ком стоял?Что чему изоморфно?В любой "уважающей себя" абелевой категории (чуть точнее — аддитивной), произведение изоморфно копроизведению. Иногда, его называют бипроизведением.
Но речь-то про _тензорное_произведение_ абелевых групп, которое описывается таки копределом. Чуть точнее, отношением эквивалентности на свободной абелевой группе на (би)произведении —
http://ncatlab.org/nlab/show/tensor+product+of+abelian+groups
Какой предел, предположительно, должен сохраняться при действии забывающим функтором?
>> забывали из кольца в абелевы группы [...]
>> монады и алгебры над ними, как "согласованные" операции.
> А тут в чем проблема?
В том, что я вижу попытки объяснить что-то совсем другое.
А тут никаких проблем нет — классический алгебраический подход.
> который "осмыслит" A*B
Осмысливать категорию через более примитивную категорию?...
Без обратного (левого сопряжённого) функтора это никак.
Комонада какая-то предлагается, что ли?...
> важна полнота категории.
Категория Ab конечно (ко)полная.
no subject
Date: 2013-08-12 06:25 am (UTC)Ну так у абелевых групп прямая сумма (тензорное произведение) изоморфно прямому произведению для конечного числа аргументов, разве нет?
> Какой предел, предположительно, должен сохраняться при действии забывающим функтором?
Хотя бы произведение, в нашем случае. В общем - черт его знает, пусть он просто все пределы сохраняет :)
> Осмысливать категорию через более примитивную категорию?...
Без обратного (левого сопряжённого) функтора это никак.
Так у нас есть сопряженный функтор к забывающему, и как раз этот функтор нам гарантирует, что забывающий функтор сохраняет пределы :)
Вот смотрите, перем категорию абелевых групп, теперь берем произведение и соответствующую стрелку A*A->A. Что нам надо показать для того, чтобы эта стрелка задавала кольцо? Надо показать, что эта стрелка - бинарная операция (в теоретико-множественном смысле), которая при фиксации первого/второго аргумента является стрелкой в Ab. То есть нам надо показать, что существует некоторая теоретико-множественная функция из множства-носителя А в множество стрелок A->A.
Берем забывающий функтор F, обращаем внимание на тот факт, что он имеет сопряженный (а значит сохраняет произведения) и переходя от A*A->A к F(A*A)->F(A) получаем F(A)->F(A)=>F(B), то есть то, что нам и надо было показать.
Я же говорил изначально о том, что в общем случае мы же вместо Set можем взять любую другую декартово-замкнутую категорию, важно лишь, чтобы в эту категорию можно было построить сохраняющий пределы F.
> Категория Ab конечно (ко)полная.
Это понятно-то, я имел ввиду - важен ли этот факт для рассматриваемой конструкции. То есть если у нас будет функтор сохраняющий пределы, но исходная категория не ко(полна), то переносимая функтором структура будет бедна и ничего осмысленного мы не получим. Например можно вместо категории абелевых групп взять категорию синглтон, очевидно у нас там будет сохраняющий пределы F, но сохранять-то и нечего.
no subject
Date: 2013-08-12 06:54 am (UTC)> изоморфна прямому произведению для
> конечного числа аргументов, разве нет?
Да, это так.
Для бесконечного — слабому прямому произведению.
Вот только, под тензорным произведеним абелевых групп подразумевают вовсе не прямую сумму-произведение.
По умолчанию, считается, что моноидальная структура в категории абелевых групп задаётся не прямой суммой-произведением, а _тензорным_произведением_абелевых_групп_ —
http://ncatlab.org/nlab/show/tensor+product+of+abelian+groups
см. Definition 2.
И я тоже подразумевал именно такую моноидальную категорию.
А морфизмами A⊕A→A кольца нихрена не представить.
no subject
Date: 2013-08-12 12:37 pm (UTC)Собственно, там как раз описывается обсуждаемая конструкция - то есть рассматривается забывающий функтор в Set, который будет переводить _*_ в product в Set.
Ну и да, оно все равно изоморфно :)
no subject
Date: 2013-08-12 01:10 pm (UTC)Там другое определение. Для A⊗B.
Однако, да — я не предполагал сложного ответа.
> там как раз описывается обсуждаемая конструкция -
> то есть рассматривается забывающий функтор в Set
Да где же?...
Вижу про билинейность, то есть, про то, что любое билинейное должно пропускаться через тензорное произведение —
f : A×B → A⊗B → C
> оно все равно изоморфно :)
На высокой-высокой скале сидел шушпанчик.
Он всё равно был изоморфен.
no subject
Date: 2013-08-12 03:39 pm (UTC)Ну вот же дистрибутивность умножения написана прямым текстом:
Definition. For A,B two abelian groups, their tensor product of abelian groups is the abelian group A⊗B which is the quotient of the free group on the product (direct sum) A×B by the relations
(a1,b)+(a2,b)∼(a1+a2,b)
(a,b1)+(a,b2)∼(a,b1+b2)
for all a,a1,a2∈A and b,b1,b2∈B.
In words: it is the group whose elements are presented by pairs of elements in A and B and such that the group operation for one argument fixed is that of the other group in the other argument.
А когда идет речь о билинейной функции:
from A and B to C is a _function of the underlying sets_ (that is, a binary function from A and B to C) which is a linear map – that is a group homomorphism – in each argument separately.
То это и есть с формальной точки зрения применение функтора в Set (вообще всегда, когда мы говорим об underlying sets, в Ab у нас нету никаких sets)
А с изоморфизмом я чего-то затупил, да.
no subject
Date: 2013-08-13 02:09 am (UTC)> quotient of the free group on the product
Всё-таки, это не совсем прямым текстом.
> это и есть с формальной точки зрения
> применение функтора в Set
В смысле, функтора из Set в свободные абелевы группы (левого, то есть)?
Ну тогда это монадический подход, с которым всё в порядке и всё просто.
Ещё можно 'трансформер' двух монадок соорудить — монадки свободной абелевой группы и свободной магмы (ну или моноида, кому как по вкусу).
no subject
Date: 2013-08-13 03:38 am (UTC)Да нет, из абелевых групп в Set. Если у нас есть абелева группа, а мы потом выносим утверждения о ее носителе, значит мы "забыли" ее структуру и перешли в Set. Бинарных операций у нас тоже нет в Ab, но они есть в Set.
И вопрос-таки должен звучать не "почему в Ab морфизм на тензорном произведении задает кольцо" - тут ответ "потому что определение тензорного произведения специально подогнано под выполнение этого свойства", а "почему в категории Ab есть такое тензорное произведение"? То есть у нас некая категория X-морфизмов, из нее забывающий функтор F в Set (или другую замкнутую), тогда можно назвать би-Х-морфизмом стрелку в Set bi:F(A*B)->F(C) такую, что индуцированное F(A)->F(B)=>F(C) задает F(A)->Hom(B,C) (и так же по второму аргументу, с выполнением понятных равенств), причем существует такая g:F(A*B)->F(A+B) (* - прямое произведение, + - тензорное), что любой би-Х-морфизм разлагается в композицию g и X-морфизма h: bi = (F h) . g. Вот чего надо нам в категории, чтобы так получилось?
no subject
Date: 2013-08-13 12:19 pm (UTC)Мы можем вносить утверждение о прямом произведении.
Но можем и про множество, когда строим свободную абелевую группу.
Ну нет тут ничего, кроме классического алгебраического монадического подхода!
> потому что определение тензорного произведения
> специально подогнано под выполнение этого свойства
;-) Вот чистаа фактически — прям и не поспоришь.
Но исторически, возникло оно совсем не так.
> из нее забывающий функтор F в Set (или другую замкнутую)
Ну так мы тогда будем рассматривать левый к нему сопряжённый и соответствующую монадку в этой вот Set-или-другой-замкнутой!
> стрелку в Set bi:F(A*B)->F(C)
Подумаю ещё. Но вроде, `идеологически` похоже что-то на lax-моноидальные функторы.
no subject
Date: 2013-08-13 12:42 pm (UTC)При чем тут свободная группа?
> Ну нет тут ничего, кроме классического алгебраического монадического подхода!
Алгебраичность - да, это вполне стандартный прием, когда мы применяем забывающий в Set и говорим о носителе, а не о структуре. Просто этот функтор обычно где-то под капотом. А монадичность-то причем?
> Ну так мы тогда будем рассматривать левый к нему сопряжённый и соответствующую монадку в этой вот Set-или-другой-замкнутой!
Не, монадки-то в Set не получается - про ассоциативность и единицу тут речи не идет. Пока говорим просто о билинейном отображении (би-Х-морфизме в общем случае)
> Подумаю ещё. Но вроде, `идеологически` похоже что-то на lax-моноидальные функторы.
Можно ссылку?
Вообще как видно из предлагаемой мной конструкции кроме забывающего функтора еще используется функтор Hom. То есть если вместо Set какая-то другая целевая категория (замкнутая, конечно), то кроме забывающего функтора в нее надо еще определить и Hom в нее. А учитывая что при формулировке (формально) надо будет говорить об уравнителях и подобъектах, видимо, надо требовать от целевой категории быть топосом. Надо продумать это по-строже, а не навскидку.
no subject
Date: 2013-08-13 02:36 pm (UTC)При определении тензорного произведения.
> А монадичность-то причем?
Про "монадичность" ("monadicity") я ничего не говорил.
Я только говорил про стандартный приём, при котором мы получаем монаду свободной абелевой группы и алгебрами над ней — уже любые абелевы группы.
> Не, монадки-то в Set не получается
Очень даже получается.
Как композиция левого и правого сопряжённого функторов.
>> lax-моноидальные функторы.
> Можно ссылку?
http://en.wikipedia.org/wiki/Monoidal_functor
http://ncatlab.org/nlab/show/monoidal+functor
> кроме забывающего функтора в нее
> надо еще определить и Hom в нее
Отображение Hom'ов и так определяется функтором.
Что имелось в виду? Что в явном виде рассмотреть категории, как обогащённые?
Тут это точно не имеет смысла.
> Надо продумать это по-строже, а не навскидку.
Очень поддерживаю.
no subject
Date: 2013-08-13 04:13 pm (UTC)Это понятно. Но я речь не о том веду.
> Я только говорил про стандартный приём, при котором мы получаем монаду свободной абелевой группы и алгебрами над ней — уже любые абелевы группы.
Да, понимаю, но я речь веду не об этом. Мой point заключается в том, что часто, когда мы обсуждаем некие структуры, нам семантики не хватает, и мы "стираем" структуру, начиная с ней работать как с множеством (как и в Ab, когда мы определяем билинейные отображения и отображения из первого аргумента в множество групповых гомоморфизмов). Явно никто об этом не говорит, но с _формальной_ точки зрения это ни что иное, как применение забывающего функтора в Set. Ничего иного я не утверждаю.
Далее мне просто пришло в голову, что эту идею тензорного произведения (как объекта, через который можно пропускать би-Х-морфизмы произвольной категории) можно распространить с Ab и на другие категории - и, закономерно, встал вопрос - на какие именно? Этот вопрос согласован с вопросом "а почему тензорное произведение в Ab имеет такие свойства?".
> Очень даже получается.
> Как композиция левого и правого сопряжённого функторов.
Э, погодите, монада в Set это же обычный моноид, так? В смысле алгебраический моноид. При чем тут функторы? То есть понятно, что монады связаны с сопряженными функторами, но вы что полагали дальше делать с этими функторами?
> Можно ссылку?
Спасибо большое. Бегло посмотрел - вроде это, все-таки, не совсем то. Это семантически близко к моей первой конструкции, но я дальше уточнил, что функтор сохраняет именно _пределы_ а тензорное произведение - результат применения некоторой стрелки к пределу в Set. То есть тут важно именно то, что можно разложить любой би-Х-морфизм в композицию выделенной Set-стрелки и "забытого" Х-морфизма. Но, может, оно эквивалентно - завтра попробую разобрать более подробно.
> Очень поддерживаю.
Ну, сами понимаете, не всегда можно выделить время на то, чтобы сесть да со вкусом, тактом, расстановкой, разобраться :)
ЗЫ: может, перенесем орбсуждение из этого ЛЖ куда-нибудь в другое место, на мыло то же?
Кстати, мы с вами, вроде, не первый раз тут встречаемся, респект автору за правильные темы :)
no subject
Date: 2013-08-14 02:19 am (UTC)> с Ab и на другие категории
Категории модулей и алгебр, например. Почти напрямую.
Есть понятие абелевой категории, классическое в гомологической алгебре, которое эти моменты обобщает.
> монада в Set это же обычный моноид
Когда говорят "монада в категории", подразумевают моноид в категории эндофункторов.
Монада — это некоторое соотношение с 2-стрелками, как правило, подразумеваются естественные преобразования эндофункторов.
Есть понятие _моноида_ в моноидальной категории. В моноидальной категории Set (если взять обычное декартовое произведение) моноидами будут обычные классические алгебраические моноиды.
А монада в Set может быть, как например, деревьев. Или монада свободной абелевой группы, о чём я упоминал. Которая по множеству неким `канонiчным` образом строит что-то структурированное.
Например, свободный моноид (множество всех слов над алфавитом). Или свободную абелевую группу (множество элементов с целочисленными 'весами').
> перенесем орбсуждение из этого ЛЖ
Есть http://category_theory.livejournal.com
Формулируйте вопрос или пишите микро-статью и делайте там пост.
no subject
Date: 2013-08-14 04:25 am (UTC)Ой, монады с моноидами перепутал :)
> Есть понятие абелевой категории, классическое в гомологической алгебре, которое эти моменты обобщает.
То есть в любой абелевой категории есть тензорное произведение, допускающее разложению любого би-Х-морфизма?
no subject
Date: 2013-08-14 06:01 am (UTC)Довольно неплохо они характеризуются теоремой Mitchell’а —
Every small abelian category admits a full, faithful and exact functor to the category RMod for some ring R.
> допускающее разложению любого би-Х-морфизма
Разложение на что и что?
Я так и не понял полностью предполагаемую конструкцию.
no subject
Date: 2013-08-15 04:20 am (UTC)На стрелку из носителя прямого произведения и Х-морфизм.
Ну как в случае с тензорным в Ab, существует такая стрелка f, что для любого билинейного отображения A*B->C, его можно однозначно разложить в композицию f:A*B->A+B, g:A+B->C, где g - гомоморфизм, * - прямое произведение, + - тензорное
no subject
Date: 2013-08-15 04:55 am (UTC)В частности, категории типа абелевых групп, колец, модулей, алгебр... Ну и любая абелевая категория регулярна.
Это значит, что вообще _любой_ морфизм f:X→Y раскладыватеся на парочку из моно и эпи.
В абелевых категориях это выглядит так —
X → coker (ker f) ~ ker (coker f) → Y
Ну а в морфизмах типаа около "произведений" отмечаю какую-то схожесть с тем, что говорится.
Всё равно, не то?
no subject
Date: 2013-08-15 09:51 am (UTC)Это значит, что вообще _любой_ морфизм f:X→Y раскладыватеся на парочку из моно и эпи.
Вопрос в том, в каких категориях (наиболее общих) мы можем определить тензорное произведение, которое будет вести себя как в Ab? То есть почему в Ab такое тензорное произведение вообще есть (понятно, что мы можем его явно построить, вопрос в том - благодаря каким свойствам Ab такое построение становится возможным)?
Вот ест у вас категория Ab, есть определение тензорного произведения в ней, как вы докажете, что такие тензорные произведения существуют в Ab, если вам внутренняя структура объектов Ab недоступна (то есть не привлекая теоретико-множественное определение абелевых групп, только стрелки, только хардкор).
no subject
Date: 2013-08-15 02:28 pm (UTC)> такое построение становится возможным?
дЫк очевидно же из определения —
1. Возможность построения свободной абелевой группы
2. Возможность взятия фактора на ней по несложному отношению
Подобное есть во мноогих категориях.
> если вам внутренняя структура объектов Ab недоступна
> не привлекая теоретико-множественное
> определение абелевых групп
Ну так вот.
(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From: