рисуем монаду
Aug. 9th, 2013 01:56 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
thedeemonСегодня в нашем кружке "теоркат для самых маленьких" урок рисования. Будем рисовать монаду. (А то весной кое-кто писал "если монаду нельзя нарисовать, то её нет".)
Для начала нарисуем что-нибудь совсем простое. Палка, палка, огуречик - получился моноид. Моноид состоит из множества (вообще-то необязательно, может быть и штука побольше чем множество), бинарной ассоциативной операции на нем и выделенного элемента, называемого единицей. Бинарная операция берет любые два элемента из этого множества и выдает какой-нибудь один элемент оттуда же.
Она должна быть ассоциативной, т.е. (a*b)*c = a*(b*c):
Тут мы используем нечто вроде фейнмановских диаграмм, где время на рисунке идет снизу-вверх. В самом низу - что было, в самом верху - что получилось, в середине всякие превращения.
Единица моноида - это такой элемент, на который если умножать что угодно слева или справа, получится то, что умножали:
Примеры моноидов: (целые числа, умножение, 1), (целые числа, сложение, 0), (строки, конкатенация, ""), (натуральные числа, максимум, 0) и т.д.
Категория состоит из набора объектов и набора стрелок между ними, функтор отображает одну категорию в другую, сохраняя рисунок стрелок. Если функторы F и G оба отображают категорию C в категорию D, бывает, что можно построить отображение функтора F в функтор G, тоже сохраняющее структуру, такое отображение h называется естественным преобразованием:
Давайте возьмем этот рисунок и применим двойственность Пуанкаре, где k-мерные штуки превращаются в (n-k)-мерные. Возьмем n=2. Категории C и D были нульмерными точками, станут двумерными фигурами. Функторы были одномерными линиями, такими и останутся. Естественное преобразование было двумерной полосой, станет нульмерной точкой. Получим такой вот рисунок, называемый струнной диаграммой:
В такой диаграмме используется вся площадь рисунка. Функторы теперь изображаются не стрелками, а линиями, по разные стороны от которых находятся заливающие пространство рисунка категории, которые этот функтор отображает одну в другую. Что во что отображается определяется направлением. В данном случае слева-направо, в последующих картинках будет справа-налево. Естественное преобразование из одного функтора в другое стало точкой, их соединяющей. Опять же, что во что отображается показано направлением: снизу-вверх.
Что такое монада? Это, во-первых, эндофунктор, т.е. функтор из одной категории в нее же. Назовем его Т. Во-вторых, это пара естественных преобразований μ (от слова мюльтипликейшн) и эта, как ее, в общем, η. Первое превращает Т*Т в Т, второе 1 (identity functor, отображающий категорию саму в себя вообще без изменений) в Т.
Во всяких хаскелях вместо μ (он же join) используют bind (он же >>=), они друг через друга легко выражаются. η в хаскелях известно под именем return.
Конечно, преобразования это не любые, а подчиняющиеся определенным законам. Которые часто изображают в виде требования коммутирования таких вот диаграмм:
Альтернативные пути из точки А в точку Б на таких диаграммах показывают, какие стрелки и их композиции должны быть равны между собой. Например, тут говорится, что неважно, с какой стороны мы к Т добавляем η-й еще один Т, все равно применение к полученному Т2 μ дает тот же самый Т.
В данных диаграммах точки означают эндофункторы, а стрелки - естественные преобразования. Подвергнем их той же процедуре дуализации, получим струнные диаграммы:
Теперь естественные преобразования стали жирными точками, а категории - двумерным пространством. Единичный функтор, ничего не делающий, мы обозначим 1, но линию проводить не будем. А теперь сравните эти рисунки с рисунками про законы моноида. Это абсолютно те же самые рисунки, просто с другими обозначениями! Ибо воистину, монады образуют моноид, у которого "множество" - это "множество" эндофункторов в некоторой категории, умножение - их композиция, а единица - единичный функтор (Identity). (Upd: тут я несколько наврал, см. исправления в комментариях.) Классическая цитата "monads are monoids in the category of endofunctors" имеет довольно простой смысл.
Монаду нарисовали, до перемены еще есть время, давайте нарисуем сопряженные функторы. Пусть у нас есть категории C и D и функторы G : C -> D и F : D -> C (теперь это не обязательно эндофункторы, C и D могут быть реально разными категориями).
При определенных условиях эти два функтора называются сопряженными. Условия эти могут быть сформулированы по-разному, например так. Должны существовать естественные преобразования
ε : FG -> 1,
η : 1 -> GF,
называемые counit и unit, такие, что поочередное их применение в разном порядке эквивалентно identity transformation, т.е. композиция F -> FGF -> F равна id, и G -> GFG -> G тоже. Нарисуем ε и η в виде струнных диаграмм:
и изобразим требования к их композиции в виде равенства диаграмм:
Из этих кирпичиков мы можем сложить рисунок побольше:
Тут GFGF применением ε к средней паре превращается в GF. Если мы обозначим композицию GF как Т, то получим преобразование TT -> T, аналогичное монадному μ.
Теперь построим еще больше картинку, и применим interchange rule, позволяющее двигать части картинки туда-сюда, не нарушая ее структуры. Потянув левую точку слияния вверх, а правую вниз, мы получим картинку, где порядок применения преобразований поменялся, но результат остался тем же.
Фактически, мы получили правило ассоциативности μ для T=GF, в точности как на левой картинке про монадные законы и на картинке про ассоциативность бинарной операции в моноиде.
Теперь построим картинку с использованием η и ε.
Cогласно законам сопряженных функторов, левую загогулину GFG можно выпрямить в одну линию G, тогда получим просто композицию GF, т.е. Т. Аналогично, в симметричной картинке можно выпрямить правую загогулину FGF до просто F, чтобы в итоге получилась та же T = GF. Так мы получили картинку, аналогичную правой части картинки про монадные законы, т.е. выполнение свойств единицы, 1 * Т = Т = Т * 1. Таким образом, композиция GF сопряженных функторов дает нам не просто эндофунктор T, а самую настоящую монаду.
При желании струнные диаграммы расширяются в третье измерение, получаются всякие такие доказательства:
Но об этом я вам не расскажу.
На этом все, всем успехов на приближающемся ICFPC!
Для начала нарисуем что-нибудь совсем простое. Палка, палка, огуречик - получился моноид. Моноид состоит из множества (вообще-то необязательно, может быть и штука побольше чем множество), бинарной ассоциативной операции на нем и выделенного элемента, называемого единицей. Бинарная операция берет любые два элемента из этого множества и выдает какой-нибудь один элемент оттуда же.
Она должна быть ассоциативной, т.е. (a*b)*c = a*(b*c):
Тут мы используем нечто вроде фейнмановских диаграмм, где время на рисунке идет снизу-вверх. В самом низу - что было, в самом верху - что получилось, в середине всякие превращения.
Единица моноида - это такой элемент, на который если умножать что угодно слева или справа, получится то, что умножали:
Примеры моноидов: (целые числа, умножение, 1), (целые числа, сложение, 0), (строки, конкатенация, ""), (натуральные числа, максимум, 0) и т.д.
Категория состоит из набора объектов и набора стрелок между ними, функтор отображает одну категорию в другую, сохраняя рисунок стрелок. Если функторы F и G оба отображают категорию C в категорию D, бывает, что можно построить отображение функтора F в функтор G, тоже сохраняющее структуру, такое отображение h называется естественным преобразованием:
Давайте возьмем этот рисунок и применим двойственность Пуанкаре, где k-мерные штуки превращаются в (n-k)-мерные. Возьмем n=2. Категории C и D были нульмерными точками, станут двумерными фигурами. Функторы были одномерными линиями, такими и останутся. Естественное преобразование было двумерной полосой, станет нульмерной точкой. Получим такой вот рисунок, называемый струнной диаграммой:
В такой диаграмме используется вся площадь рисунка. Функторы теперь изображаются не стрелками, а линиями, по разные стороны от которых находятся заливающие пространство рисунка категории, которые этот функтор отображает одну в другую. Что во что отображается определяется направлением. В данном случае слева-направо, в последующих картинках будет справа-налево. Естественное преобразование из одного функтора в другое стало точкой, их соединяющей. Опять же, что во что отображается показано направлением: снизу-вверх.
Что такое монада? Это, во-первых, эндофунктор, т.е. функтор из одной категории в нее же. Назовем его Т. Во-вторых, это пара естественных преобразований μ (от слова мюльтипликейшн) и эта, как ее, в общем, η. Первое превращает Т*Т в Т, второе 1 (identity functor, отображающий категорию саму в себя вообще без изменений) в Т.
Во всяких хаскелях вместо μ (он же join) используют bind (он же >>=), они друг через друга легко выражаются. η в хаскелях известно под именем return.
Конечно, преобразования это не любые, а подчиняющиеся определенным законам. Которые часто изображают в виде требования коммутирования таких вот диаграмм:
Альтернативные пути из точки А в точку Б на таких диаграммах показывают, какие стрелки и их композиции должны быть равны между собой. Например, тут говорится, что неважно, с какой стороны мы к Т добавляем η-й еще один Т, все равно применение к полученному Т2 μ дает тот же самый Т.
В данных диаграммах точки означают эндофункторы, а стрелки - естественные преобразования. Подвергнем их той же процедуре дуализации, получим струнные диаграммы:
Теперь естественные преобразования стали жирными точками, а категории - двумерным пространством. Единичный функтор, ничего не делающий, мы обозначим 1, но линию проводить не будем. А теперь сравните эти рисунки с рисунками про законы моноида. Это абсолютно те же самые рисунки, просто с другими обозначениями! Ибо воистину, монады образуют моноид, у которого "множество" - это "множество" эндофункторов в некоторой категории, умножение - их композиция, а единица - единичный функтор (Identity). (Upd: тут я несколько наврал, см. исправления в комментариях.) Классическая цитата "monads are monoids in the category of endofunctors" имеет довольно простой смысл.
Монаду нарисовали, до перемены еще есть время, давайте нарисуем сопряженные функторы. Пусть у нас есть категории C и D и функторы G : C -> D и F : D -> C (теперь это не обязательно эндофункторы, C и D могут быть реально разными категориями).
При определенных условиях эти два функтора называются сопряженными. Условия эти могут быть сформулированы по-разному, например так. Должны существовать естественные преобразования
ε : FG -> 1,
η : 1 -> GF,
называемые counit и unit, такие, что поочередное их применение в разном порядке эквивалентно identity transformation, т.е. композиция F -> FGF -> F равна id, и G -> GFG -> G тоже. Нарисуем ε и η в виде струнных диаграмм:
и изобразим требования к их композиции в виде равенства диаграмм:
Из этих кирпичиков мы можем сложить рисунок побольше:
Тут GFGF применением ε к средней паре превращается в GF. Если мы обозначим композицию GF как Т, то получим преобразование TT -> T, аналогичное монадному μ.
Теперь построим еще больше картинку, и применим interchange rule, позволяющее двигать части картинки туда-сюда, не нарушая ее структуры. Потянув левую точку слияния вверх, а правую вниз, мы получим картинку, где порядок применения преобразований поменялся, но результат остался тем же.
Фактически, мы получили правило ассоциативности μ для T=GF, в точности как на левой картинке про монадные законы и на картинке про ассоциативность бинарной операции в моноиде.
Теперь построим картинку с использованием η и ε.
Cогласно законам сопряженных функторов, левую загогулину GFG можно выпрямить в одну линию G, тогда получим просто композицию GF, т.е. Т. Аналогично, в симметричной картинке можно выпрямить правую загогулину FGF до просто F, чтобы в итоге получилась та же T = GF. Так мы получили картинку, аналогичную правой части картинки про монадные законы, т.е. выполнение свойств единицы, 1 * Т = Т = Т * 1. Таким образом, композиция GF сопряженных функторов дает нам не просто эндофунктор T, а самую настоящую монаду.
При желании струнные диаграммы расширяются в третье измерение, получаются всякие такие доказательства:
Но об этом я вам не расскажу.
На этом все, всем успехов на приближающемся ICFPC!
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2013-08-13 12:42 pm (UTC)При чем тут свободная группа?
> Ну нет тут ничего, кроме классического алгебраического монадического подхода!
Алгебраичность - да, это вполне стандартный прием, когда мы применяем забывающий в Set и говорим о носителе, а не о структуре. Просто этот функтор обычно где-то под капотом. А монадичность-то причем?
> Ну так мы тогда будем рассматривать левый к нему сопряжённый и соответствующую монадку в этой вот Set-или-другой-замкнутой!
Не, монадки-то в Set не получается - про ассоциативность и единицу тут речи не идет. Пока говорим просто о билинейном отображении (би-Х-морфизме в общем случае)
> Подумаю ещё. Но вроде, `идеологически` похоже что-то на lax-моноидальные функторы.
Можно ссылку?
Вообще как видно из предлагаемой мной конструкции кроме забывающего функтора еще используется функтор Hom. То есть если вместо Set какая-то другая целевая категория (замкнутая, конечно), то кроме забывающего функтора в нее надо еще определить и Hom в нее. А учитывая что при формулировке (формально) надо будет говорить об уравнителях и подобъектах, видимо, надо требовать от целевой категории быть топосом. Надо продумать это по-строже, а не навскидку.
no subject
Date: 2013-08-13 02:36 pm (UTC)При определении тензорного произведения.
> А монадичность-то причем?
Про "монадичность" ("monadicity") я ничего не говорил.
Я только говорил про стандартный приём, при котором мы получаем монаду свободной абелевой группы и алгебрами над ней — уже любые абелевы группы.
> Не, монадки-то в Set не получается
Очень даже получается.
Как композиция левого и правого сопряжённого функторов.
>> lax-моноидальные функторы.
> Можно ссылку?
http://en.wikipedia.org/wiki/Monoidal_functor
http://ncatlab.org/nlab/show/monoidal+functor
> кроме забывающего функтора в нее
> надо еще определить и Hom в нее
Отображение Hom'ов и так определяется функтором.
Что имелось в виду? Что в явном виде рассмотреть категории, как обогащённые?
Тут это точно не имеет смысла.
> Надо продумать это по-строже, а не навскидку.
Очень поддерживаю.
no subject
Date: 2013-08-13 04:13 pm (UTC)Это понятно. Но я речь не о том веду.
> Я только говорил про стандартный приём, при котором мы получаем монаду свободной абелевой группы и алгебрами над ней — уже любые абелевы группы.
Да, понимаю, но я речь веду не об этом. Мой point заключается в том, что часто, когда мы обсуждаем некие структуры, нам семантики не хватает, и мы "стираем" структуру, начиная с ней работать как с множеством (как и в Ab, когда мы определяем билинейные отображения и отображения из первого аргумента в множество групповых гомоморфизмов). Явно никто об этом не говорит, но с _формальной_ точки зрения это ни что иное, как применение забывающего функтора в Set. Ничего иного я не утверждаю.
Далее мне просто пришло в голову, что эту идею тензорного произведения (как объекта, через который можно пропускать би-Х-морфизмы произвольной категории) можно распространить с Ab и на другие категории - и, закономерно, встал вопрос - на какие именно? Этот вопрос согласован с вопросом "а почему тензорное произведение в Ab имеет такие свойства?".
> Очень даже получается.
> Как композиция левого и правого сопряжённого функторов.
Э, погодите, монада в Set это же обычный моноид, так? В смысле алгебраический моноид. При чем тут функторы? То есть понятно, что монады связаны с сопряженными функторами, но вы что полагали дальше делать с этими функторами?
> Можно ссылку?
Спасибо большое. Бегло посмотрел - вроде это, все-таки, не совсем то. Это семантически близко к моей первой конструкции, но я дальше уточнил, что функтор сохраняет именно _пределы_ а тензорное произведение - результат применения некоторой стрелки к пределу в Set. То есть тут важно именно то, что можно разложить любой би-Х-морфизм в композицию выделенной Set-стрелки и "забытого" Х-морфизма. Но, может, оно эквивалентно - завтра попробую разобрать более подробно.
> Очень поддерживаю.
Ну, сами понимаете, не всегда можно выделить время на то, чтобы сесть да со вкусом, тактом, расстановкой, разобраться :)
ЗЫ: может, перенесем орбсуждение из этого ЛЖ куда-нибудь в другое место, на мыло то же?
Кстати, мы с вами, вроде, не первый раз тут встречаемся, респект автору за правильные темы :)
no subject
Date: 2013-08-14 02:19 am (UTC)> с Ab и на другие категории
Категории модулей и алгебр, например. Почти напрямую.
Есть понятие абелевой категории, классическое в гомологической алгебре, которое эти моменты обобщает.
> монада в Set это же обычный моноид
Когда говорят "монада в категории", подразумевают моноид в категории эндофункторов.
Монада — это некоторое соотношение с 2-стрелками, как правило, подразумеваются естественные преобразования эндофункторов.
Есть понятие _моноида_ в моноидальной категории. В моноидальной категории Set (если взять обычное декартовое произведение) моноидами будут обычные классические алгебраические моноиды.
А монада в Set может быть, как например, деревьев. Или монада свободной абелевой группы, о чём я упоминал. Которая по множеству неким `канонiчным` образом строит что-то структурированное.
Например, свободный моноид (множество всех слов над алфавитом). Или свободную абелевую группу (множество элементов с целочисленными 'весами').
> перенесем орбсуждение из этого ЛЖ
Есть http://category_theory.livejournal.com
Формулируйте вопрос или пишите микро-статью и делайте там пост.
no subject
Date: 2013-08-14 04:25 am (UTC)Ой, монады с моноидами перепутал :)
> Есть понятие абелевой категории, классическое в гомологической алгебре, которое эти моменты обобщает.
То есть в любой абелевой категории есть тензорное произведение, допускающее разложению любого би-Х-морфизма?
no subject
Date: 2013-08-14 06:01 am (UTC)Довольно неплохо они характеризуются теоремой Mitchell’а —
Every small abelian category admits a full, faithful and exact functor to the category RMod for some ring R.
> допускающее разложению любого би-Х-морфизма
Разложение на что и что?
Я так и не понял полностью предполагаемую конструкцию.
no subject
Date: 2013-08-15 04:20 am (UTC)На стрелку из носителя прямого произведения и Х-морфизм.
Ну как в случае с тензорным в Ab, существует такая стрелка f, что для любого билинейного отображения A*B->C, его можно однозначно разложить в композицию f:A*B->A+B, g:A+B->C, где g - гомоморфизм, * - прямое произведение, + - тензорное
no subject
Date: 2013-08-15 04:55 am (UTC)В частности, категории типа абелевых групп, колец, модулей, алгебр... Ну и любая абелевая категория регулярна.
Это значит, что вообще _любой_ морфизм f:X→Y раскладыватеся на парочку из моно и эпи.
В абелевых категориях это выглядит так —
X → coker (ker f) ~ ker (coker f) → Y
Ну а в морфизмах типаа около "произведений" отмечаю какую-то схожесть с тем, что говорится.
Всё равно, не то?
no subject
Date: 2013-08-15 09:51 am (UTC)Это значит, что вообще _любой_ морфизм f:X→Y раскладыватеся на парочку из моно и эпи.
Вопрос в том, в каких категориях (наиболее общих) мы можем определить тензорное произведение, которое будет вести себя как в Ab? То есть почему в Ab такое тензорное произведение вообще есть (понятно, что мы можем его явно построить, вопрос в том - благодаря каким свойствам Ab такое построение становится возможным)?
Вот ест у вас категория Ab, есть определение тензорного произведения в ней, как вы докажете, что такие тензорные произведения существуют в Ab, если вам внутренняя структура объектов Ab недоступна (то есть не привлекая теоретико-множественное определение абелевых групп, только стрелки, только хардкор).
no subject
Date: 2013-08-15 02:28 pm (UTC)> такое построение становится возможным?
дЫк очевидно же из определения —
1. Возможность построения свободной абелевой группы
2. Возможность взятия фактора на ней по несложному отношению
Подобное есть во мноогих категориях.
> если вам внутренняя структура объектов Ab недоступна
> не привлекая теоретико-множественное
> определение абелевых групп
Ну так вот.
no subject
Date: 2013-08-15 04:44 pm (UTC)Вот я и пытаюсь понять - в каких именно :)
Так как понятие фактора - чисто теоретико-множественное. Ну и связи со свободными группами тут тоже, вроде, нет. То есть если в Ab бы не было свободных групп, то с тензорным произведением все оставалось бы вполне хорошо, как я понимаю.
no subject
Date: 2013-08-16 01:53 am (UTC)Пичалька ;-) Но как теперь жидь?? ;-)
А понятие коуравнителя (coequalizer) вам о чём-то говорит?
Рекомендую поизучать.
Вот в этом направлении —
http://ncatlab.org/nlab/show/congruence
The coequalizer of a congruence is called a quotient object.
И он не просто так называется quotient'ом.
Задачка (если понимаешь за коэквалайзеры, то очень простая) на закрепление материала.
Чему равен коуравнитель нулевого морфизма 0:x→g и вложения абелевой группы i:x→g?
И чууть посложнее — то же самое, но для любых групп, не обязательно абелевых, то есть, подгруппа не обязательно нормальная.
no subject
Date: 2013-08-16 04:39 am (UTC)Факторгруппа по Im(i), видимо (то есть по подгруппе, изоморфной x)? Но у нас то фактор берется в Set. A*B->A+B это же никакой не гомоморфизм ни по какой группе. Чему же должна удовлетворять категория Х, чтобы для образов ее произведений _в Set_ нашелся соответствующий коуравнитель? :)
no subject
Date: 2013-08-16 05:20 am (UTC)> (то есть по подгруппе, изоморфной x)?
Ага.
А вообще в категории групп, когда образ, в общем случае, не является нормальной подгруппой? Копредел-то существует, но как он устроен?
> Но у нас то фактор берется в Set
Чего ради?
Делаем фактор-объект по конгруэнции. Коуравнители (как и сообще конечные копределы) в абелевых категориях есть.
Действуем в категории Ab.
Была свободная абелева группа на произведении, после факторизации, стала несвободной. Как и чуть не все понятия алгебры, является фактором какой-то свободной структуры.
Я-то думал, что вы наоборот, к понятию свободной абелевой группы будете придираться...
Ну или там требовать
расово вернуючисто категорную конгруэнцию, как мономорфизм в произведение.Оно тоже всё формулируется чиста категорно.
> Чему же должна удовлетворять категория Х,
> чтобы для образов ее произведений _в Set_
> нашелся соответствующий коуравнитель? :)
Какой такой "соответствующий"?
В Set есть копредел чего угодно.
Хоть слона! ;-)
no subject
Date: 2013-08-16 05:57 am (UTC)А вообще в категории групп, когда образ, в общем случае, не является нормальной подгруппой?
Надо полагать, фактор по минимальной подгруппе, содержащей образ.
> Чего ради?
Ну потому что в Ab его просто _нет_. В том и проблема.
"соответствующий" - значит такой, чтобы в результате получалось тензорное произведение как в Ab (пропускающее через себя любой би-Х-морфизм).
> Была свободная абелева группа на произведении, после факторизации, стала несвободной.
Ну так факторизацию проводим в Set, потому что группового гомоморфизма не получается. Получается обычная функция, не гомоморфизм. Если бы у нас взятие фактора было стрелкой в Ab - и проблем бы сразу не было никаких :)
no subject
Date: 2013-08-16 09:43 am (UTC)> Надо полагать, фактор по
> минимальной подгруппе, содержащей образ.
Образ палюбому подгруппа. Отвечаю!
Но необязательно _нормальная_ подгруппа.
Подсказок уже достаточно и ответ понятен, думаю.
>>> Но у нас то фактор берется в Set
>> Чего ради?
> Ну потому что в Ab его просто _нет_.
"Поттеряял..." (c) анекдот, да? ;-)
Посоветовавшись с Капитаном, я пришёл к выводу, что если группа абелевая, то она должна быть в категории Ab!
Тензорное произведение — это абелевая группа или не очень?
Я так понял, что с тем, что у нас уже есть свободная абелевая группа, составленная из всех пар, никто не спорит.
Можно ещё охарактеризовать свободную абелевую группу, как проективный объект в этой абелевой категории. В категории абелевых групп, проективность эквивалентна свободноте абелевой группы.
Есть группа, есть на ней отношение. Из того, что в результате получаем группу, следует, что это отношение — конгруэнция и по ней можно построить фактор-объект.
Так же, несложно посмотреть, как выглядят классы эквивалентности этого отношения. И по этим подгруппам можно брать факторы.
Можно ещё с такой стороны. Отображение этой группы в тензорное произведение при его построении — канонiчный гомоморфизм.
Несложно посмотреть, что будет его ядром. И что будет фактором по этому ядру.
Как говорил Михаил Васильевич Ломоносов —
теорию категорий уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит!
Это я-то про себя думал, что алгебру херово знаю, ога...
Бегом марш учить алгебру!
Наверное, что-то разумное и даже интересное в этих ваших образах и есть, но выдалбливать это знание я уже реальне устал...
Такштаа звиняйте.
Приведёте свои мысли в порядок, пишите в какое-нибудь category_theory, как например.
Правда буду рад.
no subject
Date: 2013-08-16 11:23 am (UTC)По минимальной нормальной подгруппе, содержащей образ, конечно же.
> Посоветовавшись с Капитаном, я пришёл к выводу, что если группа абелевая, то она должна быть в категории Ab!
Безусловно. Только вот тот же капитан утверждает, что не любая стрелка в Set между абелевыми группами будет групповым гомоморфизмом.
> Тензорное произведение — это абелевая группа или не очень?
Конечно, абелева. И прямое произведение - тоже абелева группа. Но вот требуемого билинейного отображения между ними в Ab нету (потому что оно не является групповым гомоморфизмом), по-этому нам приходится идти в Set за ним.
> Я так понял, что с тем, что у нас уже есть свободная абелевая группа, составленная из всех пар, никто не спорит.
Есть-то оно есть, только вот в конструкции тензорного произведения никак не участвует. Мы из свободной группы вообще можем сделать много каких групп факторизацией - ничего странного, что из нее получается и тензорное. Но нам-то надо из прямого произведения тензорное получать, а не из свободной группы.
> Это я-то про себя думал, что алгебру херово знаю, ога...
Ну, на вопрос - почему в Ab есть тензорные произведения, вы так и не смогли ответить :)
> Наверное, что-то разумное и даже интересное в этих ваших образах и есть, но выдалбливать это знание я уже реальне устал...
Я вам в самом начале дал формально строгое и корректное описание конструкции, это уже вы начали привлекать свободные группы с коуравнителями, в результате чего пришлось переходить на аналогии. Которые уже не так точны, понятно.