black holes
Feb. 24th, 2015 11:29 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
thedeemonВ продолжение предыдущего поста. Другой вопрос, который двигал меня в general relativity после Interstellar, это реалистичность описанной там планеты со столь сильно замедленным временем. Тема черных дыр оказалась богаче и интереснее, чем я раньше представлял из популярной литературы Хокинга и Пенроуза. Некоторые моменты мало известны широкой публике, а некоторые часто воспринимаются ошибочно.
Довольно часто обсуждение черных дыр начинают с понятия escape velocity и сравнением ее со скоростью света. Это бред, не надо так делать, хоть ответ и совпадает внезапно. Что такое escape velocity ("вторая космическая")? Это как быстро надо запулить булыжник вверх, чтобы он не упал обратно. Вычисляют ее из законов Ньютона, для которых скорость света не является ничем особенным, и которые не работают в том виде рядом с сильно массивными телами, потом подставляют туда скорость света и получают заветный радиус, похожий на Шварцшильдский. Но ведь если escape velocity у поверхности планеты имеет значение V, мы не обязаны достигать V, чтобы улететь и не вернуться, потому что имея двигатель и достаточно топлива, можно подниматься сколь угодно медленно. В случае же черной дыры подняться с горизонта нельзя совсем, ни быстро ни медленно, это совершенно другая ситуация.
Шварцшильдский радиус r = 2GM/c2 приходит из одноименной метрики, являющейся решением главного уравнения в ОТО для невращающегося сферического массивного тела вроде планеты, звезды или черной дыры.
(такая формула служит заменой теореме Пифагора для локального вычисления длины короткого вектора (dt, dr, dφ, dθ) в сферических координатах в условиях искривленного пространства; собственно, именно метрика и описывает искривленность пространства, все остальное выводится из нее)
В формуле выше опущена скорость света, ее часто для простоты принимают за 1.
При r = 2GM/c2 в этой формуле возникают веселые бесконечности, приводящие к эффектам из прошлого поста. Но, как и в описанных там Rindler coordinates, это лишь артефакт координат, и в других координатах никаких бесконечностей на этом радиусе не наблюдается. Для рассуждений весьма удобны Kruskal coordinates, где Шварцшильдский радиус превращается в диагональную прямую, радиусы больше него превращаются в гиперболы наподобие траектории Боба из прошлого поста, а радиусы меньше горизонта оказываются тоже гиперболами, но по другую сторону от горизонта, сверху.
Здесь 4 сектора, правый описывает все, что снаружи черной дыры, верхний - все, что внутри. Сингулярность в центре черной дыры тут становится гиперболой (и тем что за ней) сверху. Свет в этой системе координат ходит всегда по прямым с наклоном в 45 градусов, прямо как в привычных графиках для плоского пространства Минковского. Поскольку ни один объект не может двигаться быстрее света, всякая реализуемая траектория лежит внутри светового конуса, т.е. отклоняется от вертикали меньше чем на 45 градусов. Стоить объекту попасть в верхний сектор (т.е. пересечь горизонт событий), и любое дальнейшее его движение будет происходить в пределах этого верхнего сектора и всегда неминуемо упрется в гиперболу r=0, т.е. все траектории ведут к сингулярности. Это также отражено в метрике: при пересечении r = 2GM/c2 коэффициенты перед dt и dr меняют свои знаки. В метрике пространства-времени пространственные координаты имеют положительный коэффициент, а время отрицательный. Когда dt и dr меняются знаками коэффициентов, t становится пространственной координатой, а r - временем. Таким образом точка r=0 (сингулярность) из точки в пространстве становится точкой во времени, она становится такой же неизбежностью, как для нас следующий понедельник. В какую сторону ни иди, а от наступления понедельника не уйдешь.
Пространство снаружи и внутри черной дыры на Kruskal diagram занимают правый и верхний сектора. При этом слева обнаруживается еще один сектор с полноценным пространством вне дыры, еще одна вселенная. В центре диаграммы две вселенные касаются друг друга в точке, так возникает мост Эйнштейна-Розена, wormhole. Возникает чисто гипотетически, на одно мгновение, и непроходим, т.к. требует скорости больше скорости света, чтобы попасть с одной стороны на другую. Нижний сектор диаграммы представляет из себя white hole, о которой я не буду ничего говорить.
Помимо широко известного Шварцшильдского радиуса горизонта 2GM/c2 есть в этом решении еще пара интересных и намного менее широко известных радиусов. Что происходит, если мы внутри черной дыры светим фонариком в разные стороны? Весь свет летит к сингулярности, как видно из диаграммы выше. Что если мы светим в разные стороны, находясь на горизонте? Свет, направленный прямо от центра, останется на горизонте. Весь остальной (выпущенный в других направлениях) "упадет" в центр. Что если будем светить, находясь чуть выше горизонта? Направленный "вверх" (прочь от дыры) и под небольшим углом от "вверх" сможет вырваться и уйти в бесконечность, остальной "упадет". На радиусе 3GM/c2, в полтора раза больше радиуса дыры, свет выпущенный "горизонтально" будет крутиться вокруг черной дыры по орбите. Это фотонная сфера. Все что выпущено "выше" улетит, все что "ниже" - упадет. В частности, это значит, что идущий откуда-нибудь издалека из-за черной дыры свет, проходящий ближе полутора радиусов горизонта, до нас не дойдет, т.к. попадет в фотонную сферу под углом "ниже горизонтального" и упадет на нее. А как насчет планеты? Если даже свет не может крутиться по орбите ближе 3GM/c2, материальные объекты и подавно. Умные книги говорят, что минимальный радиус стабильной круговой орбиты для массивного объекта - это 6GM/c2, втрое дальше горизонта. При этом такая планета будет довольно быстро двигаться, и на течение времени будет влиять не только гравитация, но и ее скорость, но в итоге максимальное замедление времени на такой планете по сравнению с удаленным наблюдателем будет процентов 30 всего. В Шварцшильдской метрике вариант Интерстеллара невозможен.
Именно поэтому в фильме использовалась вращающаяся черная дыра. Там все намного интересней. Решение для такой дыры было получено Керром почти на 50 лет позже чем решение Шварцшильда, в 60-х годах. Выглядит страшно:
Там появляется еще один параметр: а = J/M, где М - масса черной дыры, а J - угловой момент. Если она не вращается, a=0 и решение превращается в Шварцшильдское. Теперь если мы будем плавно увеличивать скорость вращения и с ней параметр а, произойдет сразу несколько изменений. В метрическом тензоре появляются внедиагональные элементы, и летящий прямо к черной дыре объект или даже свет начинает закручиваться в ту же сторону, куда крутится дыра. Чем ближе к дыре, тем сильнее закручивает. Снаружи горизонта событий возникает регион в форме приплюснутого сфероида (касается горизонта в полюсах, шире в экваторе), внутри которого невозможно не двигаться в ту же сторону, куда крутится дыра, даже свет не может двигаться в противоположном направлении. Это эргосфера. А горизонт событий начинает уменьшаться (это интуитивно ожидаемо: при вращении центробежные силы помогают бороться с гравитацией, поэтому точка невозврата смещается ближе к центру). По мере роста параметра а этот горизонт сдвигается от 2GM/c2 до GM/c2. А навстречу ему от центра двигается другой горизонт, внутренний. В решении Шварцшильда его не было, т.к. он совпадал с сингулярностью в центре. По мере роста параметра а он двигается от 0 до GM/c2. На этом внутреннем горизонте в метрике еще раз происходит обмен знаками между радиусом и временем. Если у Шварцшильда везде внутри черной дыры радиус работал временем и немолимо приближался, у Керра радиус служит таковым лишь между двумя горизонтами. После пересечения внутреннего горизонта время это опять время, а пространство - пространство, опять можно двигаться в разные стороны. Кроме того, сингулярность во вращающейся дыре перестает быть точкой и превращается в кольцо. Но поскольку оно внутри внутреннего горизонта, сингулярность перестает быть неизбежной, теоретически ее можно объехать. Причем если пролететь через кольцо насквозь, внутри, то там возникают closed timelike curves, замкнутые истории, можно путешествовать во времени. Более того, подобно дополнительной вселенной на левой стороне Kruskal diagram, снаружи от внутреннего горизонта тоже возникает дивный новый мир, куда можно из этого внутреннего региона с сингулярностью попасть, там радиус опять работает как время, но тащит в обратную сторону - наружу, можно вылететь из дыры во внешнее пространство. Вы думали, то кино фантастика? Все сходится с теорией там. Ну, почти. Книжные полки не упоминаются в литературе. :)
Итак, по мере увеличения параметра а = J/M два горизонта двигаются навстречу друг другу к радиусу GM/c2. Если увеличивать этот параметр дальше, то при а=М горизонты пропадают и возникает голая сингулярность - не прикрытая от остального мира никаким горизонтом событий. Против такого безобразия у физиков много возражений (cosmic censorship), поэтому обычно считают, что так сильно черная дыра не может крутиться. При а=0, как вы помните, минимальная стабильная орбита для планеты это 6GM/c2. При увеличении а минимальный радиус стабильной орбиты в экваториальной плоскости зависит от направления движения по орбите - крутится планета туда же, куда дыра, или наоборот. Если крутишься в противоположную сторону, то минимальный радиус растет от 6GM/c2 до 9GM/c2. А вот если крутишься в ту же сторону, то минимальный радиус уменьшается практически до GM/c2, приближаясь к горизонту событий. Если я правильно понимаю, при близких к максимальному значению параметра а орбита может подбираться к горизонту сколь угодно близко, и вот тут-то возможно такое замедление времени, как показано в фильме. Впрочем, здесь я не до конца уверен, уж больно хитрая там метрика (в частности, хотя радиус орбиты стремится к GM/c2, куда и горизонт, расстояние от орбиты до горизонта с т.з. метрики растет).
А, да, еще одна популярная ошибка: многие считают, что чем больше черная дыра, тем сильнее приливные силы рядом с ней. На самом деле все наоборот: чем больше радиус, тем меньше на нем кривизна пространства. Радиус горизонта прямо пропорционален массе, а приливные силы обратно пропорциональны кубу радиуса, так что по мере увеличении массы дыры они все менее заметны у ее горизонта. Маленькая черная дыра разорвет космонавта при приближении, но супермассивная дыра, вроде той, что в центре галактик, позволит пересечь горизонт без особенных проблем и еще останется время почитать ЖЖ, прежде чем кривизна пространства вызовет спагеттификацию.
PS. Самый увлекательный сериал, что я когда-либо смотрел: General Relativity by Leonard Susskind. Особенно хороши серии 6 и 9. В 9-й type-directed вывод уравнения Эйнштейна, невероятно красиво.
Довольно часто обсуждение черных дыр начинают с понятия escape velocity и сравнением ее со скоростью света. Это бред, не надо так делать, хоть ответ и совпадает внезапно. Что такое escape velocity ("вторая космическая")? Это как быстро надо запулить булыжник вверх, чтобы он не упал обратно. Вычисляют ее из законов Ньютона, для которых скорость света не является ничем особенным, и которые не работают в том виде рядом с сильно массивными телами, потом подставляют туда скорость света и получают заветный радиус, похожий на Шварцшильдский. Но ведь если escape velocity у поверхности планеты имеет значение V, мы не обязаны достигать V, чтобы улететь и не вернуться, потому что имея двигатель и достаточно топлива, можно подниматься сколь угодно медленно. В случае же черной дыры подняться с горизонта нельзя совсем, ни быстро ни медленно, это совершенно другая ситуация.
Шварцшильдский радиус r = 2GM/c2 приходит из одноименной метрики, являющейся решением главного уравнения в ОТО для невращающегося сферического массивного тела вроде планеты, звезды или черной дыры.
(такая формула служит заменой теореме Пифагора для локального вычисления длины короткого вектора (dt, dr, dφ, dθ) в сферических координатах в условиях искривленного пространства; собственно, именно метрика и описывает искривленность пространства, все остальное выводится из нее)
В формуле выше опущена скорость света, ее часто для простоты принимают за 1.
При r = 2GM/c2 в этой формуле возникают веселые бесконечности, приводящие к эффектам из прошлого поста. Но, как и в описанных там Rindler coordinates, это лишь артефакт координат, и в других координатах никаких бесконечностей на этом радиусе не наблюдается. Для рассуждений весьма удобны Kruskal coordinates, где Шварцшильдский радиус превращается в диагональную прямую, радиусы больше него превращаются в гиперболы наподобие траектории Боба из прошлого поста, а радиусы меньше горизонта оказываются тоже гиперболами, но по другую сторону от горизонта, сверху.
Здесь 4 сектора, правый описывает все, что снаружи черной дыры, верхний - все, что внутри. Сингулярность в центре черной дыры тут становится гиперболой (и тем что за ней) сверху. Свет в этой системе координат ходит всегда по прямым с наклоном в 45 градусов, прямо как в привычных графиках для плоского пространства Минковского. Поскольку ни один объект не может двигаться быстрее света, всякая реализуемая траектория лежит внутри светового конуса, т.е. отклоняется от вертикали меньше чем на 45 градусов. Стоить объекту попасть в верхний сектор (т.е. пересечь горизонт событий), и любое дальнейшее его движение будет происходить в пределах этого верхнего сектора и всегда неминуемо упрется в гиперболу r=0, т.е. все траектории ведут к сингулярности. Это также отражено в метрике: при пересечении r = 2GM/c2 коэффициенты перед dt и dr меняют свои знаки. В метрике пространства-времени пространственные координаты имеют положительный коэффициент, а время отрицательный. Когда dt и dr меняются знаками коэффициентов, t становится пространственной координатой, а r - временем. Таким образом точка r=0 (сингулярность) из точки в пространстве становится точкой во времени, она становится такой же неизбежностью, как для нас следующий понедельник. В какую сторону ни иди, а от наступления понедельника не уйдешь.
Пространство снаружи и внутри черной дыры на Kruskal diagram занимают правый и верхний сектора. При этом слева обнаруживается еще один сектор с полноценным пространством вне дыры, еще одна вселенная. В центре диаграммы две вселенные касаются друг друга в точке, так возникает мост Эйнштейна-Розена, wormhole. Возникает чисто гипотетически, на одно мгновение, и непроходим, т.к. требует скорости больше скорости света, чтобы попасть с одной стороны на другую. Нижний сектор диаграммы представляет из себя white hole, о которой я не буду ничего говорить.
Помимо широко известного Шварцшильдского радиуса горизонта 2GM/c2 есть в этом решении еще пара интересных и намного менее широко известных радиусов. Что происходит, если мы внутри черной дыры светим фонариком в разные стороны? Весь свет летит к сингулярности, как видно из диаграммы выше. Что если мы светим в разные стороны, находясь на горизонте? Свет, направленный прямо от центра, останется на горизонте. Весь остальной (выпущенный в других направлениях) "упадет" в центр. Что если будем светить, находясь чуть выше горизонта? Направленный "вверх" (прочь от дыры) и под небольшим углом от "вверх" сможет вырваться и уйти в бесконечность, остальной "упадет". На радиусе 3GM/c2, в полтора раза больше радиуса дыры, свет выпущенный "горизонтально" будет крутиться вокруг черной дыры по орбите. Это фотонная сфера. Все что выпущено "выше" улетит, все что "ниже" - упадет. В частности, это значит, что идущий откуда-нибудь издалека из-за черной дыры свет, проходящий ближе полутора радиусов горизонта, до нас не дойдет, т.к. попадет в фотонную сферу под углом "ниже горизонтального" и упадет на нее. А как насчет планеты? Если даже свет не может крутиться по орбите ближе 3GM/c2, материальные объекты и подавно. Умные книги говорят, что минимальный радиус стабильной круговой орбиты для массивного объекта - это 6GM/c2, втрое дальше горизонта. При этом такая планета будет довольно быстро двигаться, и на течение времени будет влиять не только гравитация, но и ее скорость, но в итоге максимальное замедление времени на такой планете по сравнению с удаленным наблюдателем будет процентов 30 всего. В Шварцшильдской метрике вариант Интерстеллара невозможен.
Именно поэтому в фильме использовалась вращающаяся черная дыра. Там все намного интересней. Решение для такой дыры было получено Керром почти на 50 лет позже чем решение Шварцшильда, в 60-х годах. Выглядит страшно:
Там появляется еще один параметр: а = J/M, где М - масса черной дыры, а J - угловой момент. Если она не вращается, a=0 и решение превращается в Шварцшильдское. Теперь если мы будем плавно увеличивать скорость вращения и с ней параметр а, произойдет сразу несколько изменений. В метрическом тензоре появляются внедиагональные элементы, и летящий прямо к черной дыре объект или даже свет начинает закручиваться в ту же сторону, куда крутится дыра. Чем ближе к дыре, тем сильнее закручивает. Снаружи горизонта событий возникает регион в форме приплюснутого сфероида (касается горизонта в полюсах, шире в экваторе), внутри которого невозможно не двигаться в ту же сторону, куда крутится дыра, даже свет не может двигаться в противоположном направлении. Это эргосфера. А горизонт событий начинает уменьшаться (это интуитивно ожидаемо: при вращении центробежные силы помогают бороться с гравитацией, поэтому точка невозврата смещается ближе к центру). По мере роста параметра а этот горизонт сдвигается от 2GM/c2 до GM/c2. А навстречу ему от центра двигается другой горизонт, внутренний. В решении Шварцшильда его не было, т.к. он совпадал с сингулярностью в центре. По мере роста параметра а он двигается от 0 до GM/c2. На этом внутреннем горизонте в метрике еще раз происходит обмен знаками между радиусом и временем. Если у Шварцшильда везде внутри черной дыры радиус работал временем и немолимо приближался, у Керра радиус служит таковым лишь между двумя горизонтами. После пересечения внутреннего горизонта время это опять время, а пространство - пространство, опять можно двигаться в разные стороны. Кроме того, сингулярность во вращающейся дыре перестает быть точкой и превращается в кольцо. Но поскольку оно внутри внутреннего горизонта, сингулярность перестает быть неизбежной, теоретически ее можно объехать. Причем если пролететь через кольцо насквозь, внутри, то там возникают closed timelike curves, замкнутые истории, можно путешествовать во времени. Более того, подобно дополнительной вселенной на левой стороне Kruskal diagram, снаружи от внутреннего горизонта тоже возникает дивный новый мир, куда можно из этого внутреннего региона с сингулярностью попасть, там радиус опять работает как время, но тащит в обратную сторону - наружу, можно вылететь из дыры во внешнее пространство. Вы думали, то кино фантастика? Все сходится с теорией там. Ну, почти. Книжные полки не упоминаются в литературе. :)
Итак, по мере увеличения параметра а = J/M два горизонта двигаются навстречу друг другу к радиусу GM/c2. Если увеличивать этот параметр дальше, то при а=М горизонты пропадают и возникает голая сингулярность - не прикрытая от остального мира никаким горизонтом событий. Против такого безобразия у физиков много возражений (cosmic censorship), поэтому обычно считают, что так сильно черная дыра не может крутиться. При а=0, как вы помните, минимальная стабильная орбита для планеты это 6GM/c2. При увеличении а минимальный радиус стабильной орбиты в экваториальной плоскости зависит от направления движения по орбите - крутится планета туда же, куда дыра, или наоборот. Если крутишься в противоположную сторону, то минимальный радиус растет от 6GM/c2 до 9GM/c2. А вот если крутишься в ту же сторону, то минимальный радиус уменьшается практически до GM/c2, приближаясь к горизонту событий. Если я правильно понимаю, при близких к максимальному значению параметра а орбита может подбираться к горизонту сколь угодно близко, и вот тут-то возможно такое замедление времени, как показано в фильме. Впрочем, здесь я не до конца уверен, уж больно хитрая там метрика (в частности, хотя радиус орбиты стремится к GM/c2, куда и горизонт, расстояние от орбиты до горизонта с т.з. метрики растет).
А, да, еще одна популярная ошибка: многие считают, что чем больше черная дыра, тем сильнее приливные силы рядом с ней. На самом деле все наоборот: чем больше радиус, тем меньше на нем кривизна пространства. Радиус горизонта прямо пропорционален массе, а приливные силы обратно пропорциональны кубу радиуса, так что по мере увеличении массы дыры они все менее заметны у ее горизонта. Маленькая черная дыра разорвет космонавта при приближении, но супермассивная дыра, вроде той, что в центре галактик, позволит пересечь горизонт без особенных проблем и еще останется время почитать ЖЖ, прежде чем кривизна пространства вызовет спагеттификацию.
PS. Самый увлекательный сериал, что я когда-либо смотрел: General Relativity by Leonard Susskind. Особенно хороши серии 6 и 9. В 9-й type-directed вывод уравнения Эйнштейна, невероятно красиво.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2015-05-25 11:37 pm (UTC)Есть такое вот таорчество чье-то:
http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL542008/p4154.pdf
Люди высказывают подозрение, что написанное там слегка ересь, но я хочу не это попросить темой поста. А тему сочинения хочу попросить такую: "Вся наша Вселенная - это на самом деле внутренность какой-то черной дыры". Очень интересно, так ли это, какие аналогии, объяснения на пальцах и т.д. - в общем, все, что так здорово получилось в существующей серии постов про черные дыры.
no subject
Date: 2015-07-29 04:10 pm (UTC)no subject
Date: 2015-07-30 12:38 pm (UTC)Не вдаваясь в детали их спекуляций, самое базовое: там пытаются вычислить Шварцшильдский радиус для тела массой со вселенную. Массу получают через среднюю плотность и радиус наблюдаемой вселенной, взятый из ее возраста. Но:
* Шварцшильдский радиус - это чисто артефакт одноименного решения уравнений ОТО для варианта точечной массы в вакууме. Не для размазанной по огромному объему мизерной плотности. Если б мы считали, что наблюдаемая вселенная - это вся материя, снаружи ничего нет, что это один объект фиксированного размера, то данное решение еще имело бы смысл где-то далеко-далеко снаружи. Но у нас вроде как нет оснований считать, что "снаружи" видимой части ничего нет. Для заполненного некоторой плотностью пространства решения совсем другие, не Шварцшильда, поэтому такой радиус тут просто бессмысленен.
* Считают из средней плотности, но помимо наблюдаемой материи есть еще излучение (тоже энергия, а на искривленность пространства влияет именно энергия и момент, а также их перетекания), плюс темная материя и темная энергия - никто не знает что это, но в итоге наблюдаемая материя - лишь жалкие проценты от общей суммы.
* Плотность умножают на радиус 13.5 млрд световых лет, но размер только наблюдаемой вселенной в разы больше - успела раздуться и надувается дальше все быстрее. Кроме того, само число 13.5 млрд лет получено из совсем других моделей. Не соглашаешься с ними - не бери их численные результаты.
* Ну и раз начали говорить про радиус Шварцшильда, то пусть продолжают - он имеет смысл в контексте метрики Шварцшильда, согласно которой, будучи внутри черной дыры, мы бы наблюдали совсем другое движение (тут правда я плаваю в деталях). Вместо этого видим разбегание галактик, расширение вселенной.
no subject
Date: 2015-07-30 12:54 pm (UTC)no subject
Date: 2015-07-30 02:50 pm (UTC)Вчера вот увидел такую ссылку:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B8%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%BD