поправка про экспоненциал

[thedeemon]

Я в недавнем посте в одном месте наврал, а меня не поправили. Если мы возьмем категорию, в которой объекты - натуральные числа, а стрелка соединяет два числа, когда первое делится на второе (это обычное частично упорядоченное множество), и мы хотим определить экспоненциал:

(напоминаю, что стрелки тут означают делимость, "произведение" - наименьшее общее кратное двух чисел, и смысл в том, что для любого числа С, для которого СхА кратно В, С должно быть кратно exp(A,B))

Я тогда сказал, что exp(А,В) = lcm(А,В) / А. (lcm - наименьшее общее кратное)
Это неправильная функция, она работает во многих случаях, но не во всех.
Правильная функция выглядит так: нужно взять В, разложить на простые множители в соответствующих им степенях, и убрать те из них, которые встречаются в аналогичном разложении А со степенью большей или равной той, что в В.

Примеры:
А = 30 = 2*3*5
В = 35 = 5*7
простой множитель 5 в А в той же степени, что и В, его убираем, остается 7. exp(A,B)=7

A = 70 = 2*5*7
B = 100 = 2*2 * 5*5
тут в В степени общих с А простых множителей больше, чем в А, поэтому убирать нечего, exp(A,B)=100.
На этом примере как раз изначально предложенная формула неправильный ответ дает.

Вопрос: можно ли эту функцию выразить без явного разложения на множители? Например, через формулу с gcd, lcm и арифметическими операциями.

Comments

[juan-gandhi.livejournal.com]

А можно сначала определение экспоненциала в студию? Это не сопряженный к декартову произведению? А декартово произведение там есть?

[thedeemon.livejournal.com]

The functor exp(A,*) is defined as the right adjoint
functor of * x A.

Из Хагино:

[juan-gandhi.livejournal.com]

А, ну то есть, действительно, произведение - это lcm.

A×B = (A/gcd(A,B))*gcd(A,B)*(B/gcd(A,B))

Я думаю, exp(A,B) = B/gcd(A,B)

[thedeemon.livejournal.com]

AxB = lcm(A,B) = A*B/gcd(A,B)

B/gcd(A,B) для exp не годится. Тот же пример: A=70, B=100. B/gcd(A,B) = 10, но Ax10 = 70, не делится на B, а должно. Правильное значение exp(70,100)=100.