В искривленном пространстве. Часть 3
May. 29th, 2018 03:53 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
thedeemonОдно из центральных уравнений общей теории относительности - метрика Шварцшильда, описывающая простейшую черную дыру - незаряженную и невращающуюся. В координатах, похожих на полярные, она выглядит так:
Тут черная дыра находится в начале координат, имеет радиус r_s, и уравнение говорит нам, что если мы находимся в момент t в точке с координатами (r, θ, φ), то при перемещении на малюсенький вектор (dr, dθ, dφ) за dt координатных секунд на наших часах пройдет dτ секунд, это "proper time", инвариант, не зависящий от системы отсчета. Поскольку нас интересует чисто геометрия, и никакие аспекты времени мы не визуализируем, то можно убрать из рассмотрения время. И поскольку такая ЧД сферически симметрична, а мы научились визуализировать двумерные искривленные многообразия, то возьмем плоскость, проходящую через "экватор" ЧД, т.е. выбросим еще одну из угловых координат, оставим лишь радиус r и угол u.
Тогда останется метрика
ds^2 = 1/(1 - R/r) * dr^2 + r^2 * du^2
или
ds^2 = (1 + R/(r-R)) * dr^2 + r^2 * du^2
где ds - длина маленького вектора (dr, du) в точке (r, u), а R - радиус ЧД.
Давайте, как в предыдущих частях, сделаем поверхность, вложенную в евклидово 3D пространство функцией (u,r) -> (x,y,z). x и z будут просто получаться из полярных координат привычным образом
x = r*cos(u), z = -r*sin(u)
как на обычной плоскости в евклидовой геометрии, а y будет задаваться некоторой функцией от радиуса F(r). Т.е.
X(u,r) = [r*cos(u), F(r), -r*sin(u)]
Тогда базисные вектора получатся
Xu = [-sin(u) * r, 0, -cos(u) * r]
Xr = [cos(u), dF(r), -sin(u)]
и метрика будет
ds^2 = (1 + dF(r)^2) * dr^2 + r^2 * du^2
Т.е. мы получим в точности наше сечение Шварцшильдовской черной дыры, если
dF(r)^2 = R/(r-R)
где dF(r) - производная F(r) по r
Тогда dF(r) = √(R/(r-R))
это можно проинтегрировать, получим
F(r) = 2√(R*(r-R))
Т.е. взяв радиус ЧД за 1, получим поверхность как результат вращения ф-ии 2√(r-1).
Кто видел исходное уравнение Шварцшильда, помнит, что у горизонта событий коэффициент при dt стремится к нулю (время замедляется), а коэффициент при dr ровно ему обратен, и во столько же раз растет, стремится к бесконечности. Пространство растягивается ровно настолько же, насколько сжимается время. В вакууме соблюдается инвариантность 4-мерного элемента объема.
И действительно, на нашей поверхности в r = 1 (или r=R более общем случае) у нас эта поверхность становится вертикальной, dF(r) обращается в бесконечность, и значит элемент длины в радиальном направлении обращается в бесконечность там. Но значит ли, что путь к горизонту бесконечно долог? Нарисовав поверхность, становится очевиден ответ: путь до горизонта это просто путь по поверхности, т.е. вдоль графика 2√(r-1), а он не так уж длинен, хоть, конечно и несколько длиннее, чем было бы на плоскости.
И второе наблюдение: продолжить поверхность на r < R так просто не получается, там у нас корень из отрицательной величины. В некоторых роликах рисуют уходящую бесконечно вниз воронку. По-моему, это не совсем корректно. Уклон воронки уже на горизонте вертикален, а дальше... Я не возьмусь пытаться изобразить внутренность черной дыры.
Тут черная дыра находится в начале координат, имеет радиус r_s, и уравнение говорит нам, что если мы находимся в момент t в точке с координатами (r, θ, φ), то при перемещении на малюсенький вектор (dr, dθ, dφ) за dt координатных секунд на наших часах пройдет dτ секунд, это "proper time", инвариант, не зависящий от системы отсчета. Поскольку нас интересует чисто геометрия, и никакие аспекты времени мы не визуализируем, то можно убрать из рассмотрения время. И поскольку такая ЧД сферически симметрична, а мы научились визуализировать двумерные искривленные многообразия, то возьмем плоскость, проходящую через "экватор" ЧД, т.е. выбросим еще одну из угловых координат, оставим лишь радиус r и угол u.
Тогда останется метрика
ds^2 = 1/(1 - R/r) * dr^2 + r^2 * du^2
или
ds^2 = (1 + R/(r-R)) * dr^2 + r^2 * du^2
где ds - длина маленького вектора (dr, du) в точке (r, u), а R - радиус ЧД.
Давайте, как в предыдущих частях, сделаем поверхность, вложенную в евклидово 3D пространство функцией (u,r) -> (x,y,z). x и z будут просто получаться из полярных координат привычным образом
x = r*cos(u), z = -r*sin(u)
как на обычной плоскости в евклидовой геометрии, а y будет задаваться некоторой функцией от радиуса F(r). Т.е.
X(u,r) = [r*cos(u), F(r), -r*sin(u)]
Тогда базисные вектора получатся
Xu = [-sin(u) * r, 0, -cos(u) * r]
Xr = [cos(u), dF(r), -sin(u)]
и метрика будет
ds^2 = (1 + dF(r)^2) * dr^2 + r^2 * du^2
Т.е. мы получим в точности наше сечение Шварцшильдовской черной дыры, если
dF(r)^2 = R/(r-R)
где dF(r) - производная F(r) по r
Тогда dF(r) = √(R/(r-R))
это можно проинтегрировать, получим
F(r) = 2√(R*(r-R))
Т.е. взяв радиус ЧД за 1, получим поверхность как результат вращения ф-ии 2√(r-1).
Кто видел исходное уравнение Шварцшильда, помнит, что у горизонта событий коэффициент при dt стремится к нулю (время замедляется), а коэффициент при dr ровно ему обратен, и во столько же раз растет, стремится к бесконечности. Пространство растягивается ровно настолько же, насколько сжимается время. В вакууме соблюдается инвариантность 4-мерного элемента объема.
И действительно, на нашей поверхности в r = 1 (или r=R более общем случае) у нас эта поверхность становится вертикальной, dF(r) обращается в бесконечность, и значит элемент длины в радиальном направлении обращается в бесконечность там. Но значит ли, что путь к горизонту бесконечно долог? Нарисовав поверхность, становится очевиден ответ: путь до горизонта это просто путь по поверхности, т.е. вдоль графика 2√(r-1), а он не так уж длинен, хоть, конечно и несколько длиннее, чем было бы на плоскости.
И второе наблюдение: продолжить поверхность на r < R так просто не получается, там у нас корень из отрицательной величины. В некоторых роликах рисуют уходящую бесконечно вниз воронку. По-моему, это не совсем корректно. Уклон воронки уже на горизонте вертикален, а дальше... Я не возьмусь пытаться изобразить внутренность черной дыры.
no subject
Date: 2018-05-29 05:34 pm (UTC)no subject
Date: 2018-05-29 05:38 pm (UTC)