Oleg

Из кандидатской Конора МакБрайда.

Зависимые пары, карринг и Карри-Говард

Все мы помним про карринг, позволяющий функцию, принимающую пару аргументов, заменить на функцию от одного аргумента, возвращающую функцию от второго, которая уже возвращает нужный результат. Типы ((a,b) -> c) и (a -> b -> c) эквивалентны, т.к. мы можем описать две функции от одного к другому и обратно, композиция которых равна id, т.е. построить изоморфизмы. Запишем их на хаскелеподобном языке Идрис:

id1 : ((a,b) -> c) -> (a -> b -> c)
id1 f = \a => \b => f (a,b)

id2 : (a -> b -> c) -> ((a,b) -> c)
id2 f = \pair => f (fst pair) (snd pair)

В хаскеле они есть в стандартной библиотеке под именами curry и uncurry. Теперь вспомним соответствие Карри-Говарда, связывающее типы с утверждениями, а значения с доказательствами. Произведение типов (тупл, product type) там превращается в конъюнкцию, функциональный тип - в следствие. Фактически, выше мы доказали утверждение
((A & B) => C) == (A => (B => C))

Теперь перенесемся в мир зависимых типов, взяв тот же язык Идрис. Одним из базовых элементов, появляющихся с зависимыми типами, является зависимая пара - обобщение произведения типов, также известное как зависимая сумма (dependent sum):( Read more... )