Двухщелевой вопрос
Jul. 31st, 2025 05:45 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
thedeemonСыну на лето в школе дали список книг почитать, среди них Six Easy Pieces Фейнмана, где он рассказывает про двухщелевой эксперимент с электронами, дескать если их запускать через забор с двумя дырками и ловить на экране дальше, то каждый конкретный электрон попадет в какую-то случайную точку, а распределение этих точек будет выглядеть как результат интерференции волн. Он много говорит "в эксперименте видим то", "в эксперименте видим сё", но перед этим предупреждает, что вообще-то именно в таком виде эксперимент не делали, и описываемый эксперимент только мысленный. Впрочем, говорит, было много других экспериментов, где подобное квантовое поведение наблюдали.
А недавно я услышал в одном подкасте с Jacob Barandes один интересный момент: он говорит, что если мы захотим посчитать, какое именно должно получиться распределение попадания частиц на экране, казалось бы тривиальнейшая задачка в КМ, то мы до сих пор не знаем как это правильно сделать. Казалось бы, вот начальное значение волновой функции, вот мы ее по уравнению Шредингера эволюционируем во времени, и вот она приходит на экран, и мы там можем взять квадрат модуля ВФ и из него получить распределение вероятностей попадания в разные места. Но! Мы же это делаем, взяв значение ВФ в какой-то момент. А в какой? Когда именно электрон прилетит на экран? Этого мы не знаем. В каждый момент времени он потенциально может быть найден где угодно, ВФ нам говорит вероятности его нахождения в разных местах. Если мы зафиксируем момент и произведем "измерение" координаты, получим какую-то точку. А в какой момент это делать? В каждый конкретный момент частица скорее будет где-то еще, а не на экране. Вот простой пример:
Тут яркость обозначает амплитуду волновой функции, а цвет - комплексную фазу. Исходно частица локализована в небольшое круглое облачко (гауссиан) и в комплексной плоскости ее ВФ закручена так, чтобы иметь испульс для движения вправо. По мере эволюции облачко расплывается в пространстве и сначала в целом движется вправо, встречает представленную потенциальным барьером стенку с двумя щелями, частично проходит через них (а большей частью отражается от стенки), там дальше корридор (я добавил сверху и снизу стенки, чтобы отражения интереснее давали картинку) и в конце стоит голубой экран, на котором мы как бы частицу ловим. Справа от экрана я показываю яркостью квадрат модуля ВФ на самом экране в каждый момент, отнормированный. Видно, что в разные моменты там несколько разные картинки. Можем ли мы какую-то одну из них считать предсказанием? Вряд ли. Можем ли как-то суммировать и усреднять? Тоже непонятно, мы не знаем с какими весами суммировать, каково распределение по времени событий прилета частицы. Оператора времени в КМ нет, время - не observable величина. И если в какой-то момент частица прилетает, то ВФ схлопывается, дальше эволюционировать старую ВФ уже нельзя, поэтому как и что тут суммировать - неочевидно.
Такой вот простой вопрос неожиданно оказался сложным, по крайней мере я не в курсе как его принято решать, а Jacob говорит, что по-хорошему и никто не в курсе.
Исходники симуляции, если что, здесь.
А недавно я услышал в одном подкасте с Jacob Barandes один интересный момент: он говорит, что если мы захотим посчитать, какое именно должно получиться распределение попадания частиц на экране, казалось бы тривиальнейшая задачка в КМ, то мы до сих пор не знаем как это правильно сделать. Казалось бы, вот начальное значение волновой функции, вот мы ее по уравнению Шредингера эволюционируем во времени, и вот она приходит на экран, и мы там можем взять квадрат модуля ВФ и из него получить распределение вероятностей попадания в разные места. Но! Мы же это делаем, взяв значение ВФ в какой-то момент. А в какой? Когда именно электрон прилетит на экран? Этого мы не знаем. В каждый момент времени он потенциально может быть найден где угодно, ВФ нам говорит вероятности его нахождения в разных местах. Если мы зафиксируем момент и произведем "измерение" координаты, получим какую-то точку. А в какой момент это делать? В каждый конкретный момент частица скорее будет где-то еще, а не на экране. Вот простой пример:
Тут яркость обозначает амплитуду волновой функции, а цвет - комплексную фазу. Исходно частица локализована в небольшое круглое облачко (гауссиан) и в комплексной плоскости ее ВФ закручена так, чтобы иметь испульс для движения вправо. По мере эволюции облачко расплывается в пространстве и сначала в целом движется вправо, встречает представленную потенциальным барьером стенку с двумя щелями, частично проходит через них (а большей частью отражается от стенки), там дальше корридор (я добавил сверху и снизу стенки, чтобы отражения интереснее давали картинку) и в конце стоит голубой экран, на котором мы как бы частицу ловим. Справа от экрана я показываю яркостью квадрат модуля ВФ на самом экране в каждый момент, отнормированный. Видно, что в разные моменты там несколько разные картинки. Можем ли мы какую-то одну из них считать предсказанием? Вряд ли. Можем ли как-то суммировать и усреднять? Тоже непонятно, мы не знаем с какими весами суммировать, каково распределение по времени событий прилета частицы. Оператора времени в КМ нет, время - не observable величина. И если в какой-то момент частица прилетает, то ВФ схлопывается, дальше эволюционировать старую ВФ уже нельзя, поэтому как и что тут суммировать - неочевидно.
Такой вот простой вопрос неожиданно оказался сложным, по крайней мере я не в курсе как его принято решать, а Jacob говорит, что по-хорошему и никто не в курсе.
Исходники симуляции, если что, здесь.
no subject
Date: 2025-07-31 07:10 pm (UTC)no subject
Date: 2025-07-31 07:12 pm (UTC)когда интервал между ними много больше времени распространения волны
Подумалось: для медленных электронов энергия E=mc² определена точно.
По принципу Гейзенберга:
Δt > ħ/ΔE - большая величина
то есть и нельзя говорить об определённом моменте
no subject
Date: 2025-07-31 07:14 pm (UTC)no subject
Date: 2025-07-31 07:54 pm (UTC)no subject
Date: 2025-07-31 07:56 pm (UTC)no subject
Date: 2025-07-31 08:08 pm (UTC)Квадрат-то модуля вычислить можно без проблем. Проблема эту функцию найти.
no subject
Date: 2025-07-31 09:02 pm (UTC)no subject
Date: 2025-07-31 09:12 pm (UTC)Когда мы что-то квантуем, мы заменяем классическую величину с одним числом вроде классической координаты или импульса на оператор с его спектром собственных значений, которые теперь наша величина может принимать, с каким-то распределением вероятностей для них (в зависимости от текущего состояния), у этого распределения есть standard deviation, это "неопределенность".
Принцип неопределенности Гейзенберга ограничивает снизу произведение standard deviations двух таких операторов через коммутатор этих операторов, и для некоммутирующих операторов там получается не меньше такой-то величины.
Так вот, для времени в КМ нет оператора, нет спектра значений, и нет никакой неопределенности. Время не может напрямую использоваться в принципе неопределенности Гейзенберга.
Похожее по форме соотношение для Δt * ΔE имеет совсем другой смысл, там Δt это промежуток времени, за который матожидание такой-то величины изменится на стандартное отклонение. Это не про неопределенность.
no subject
Date: 2025-07-31 09:14 pm (UTC)Если мы запустили второй электрон и он пролетел через другую щель, первый электрон уже интерферирует со вторым и вероятность попасть на экран узорчата.
Потому что это не просто вероятность нахождения, а вероятность обнаружения. Приёмник входит в описание системы, делая его дико сложным для потока единичных событий.
no subject
Date: 2025-07-31 09:16 pm (UTC)И если так, как выглядит подобная ВФ, чем отличается от простой одночастичной?
no subject
Date: 2025-07-31 09:21 pm (UTC)В эксперименте речь про одиночные электроны, второй вылетает после того, как первый прилетит уже, они интерферировать не должны, ибо по времени не пересекаются.
no subject
Date: 2025-07-31 09:26 pm (UTC)И не стоит забывать, что функция вероятности не точечная, а размазанная. Крылья вероятности при этом не сходят на ноль, а выходят на апроксимацию.
no subject
Date: 2025-08-01 03:01 pm (UTC)Но, конечно, было бы гораздо честнѣе вычислить зависимую отъ времени волновую функцiю одного электрона (нормированный волновой пакетъ), который вылетелъ изъ такого-то мѣста и дальше распространяется въ данномъ пространствѣ со щелями. Это сложное вычисленiе. Результатомъ будетъ распредѣленiе вѣроятности для электрона быть поглощеннымъ въ разныхъ мѣстахъ экрана въ разное время (или вѣроятность вообще не долетѣть до экрана и быть гдѣ-то поглощеннымъ еще до пролета черезъ щели).
Потомъ надо это распредѣленiе интегрировать по времени и получать вѣроятность пятенъ на экранѣ. Я не увѣренъ, что результатъ будетъ равенъ стацiонарному расчету, но это возможно даже и такъ.
no subject
Date: 2025-08-01 03:32 pm (UTC)Вот эта первоприходящая мысль меня и смущает, насколько такое суммирование имеет смысл.
Если у нас есть точка Х и моменты времени t1 и t2, t1 < t2, то из Ψ(X, t1) и Ψ(X, t2) можно получить вероятности, но они же не независимы, значение Ψ(X, t2) имеет смысл только если частица дожила до времени t2 и коллапса не случилось раньше, в t1 она в экран не прилетала, а тогда значение Ψ(X, t1) непонятно имеет ли смысл... С другой стороны, если частица прилетела в Х в момент t1, то учитывать Ψ(X, t2) уже нет смысла, и считать моменты после t1 уже нет смысла...
no subject
Date: 2025-08-01 03:41 pm (UTC)no subject
Date: 2025-08-01 07:32 pm (UTC)Вы отчего-то предполагаете, что для дифракции непременно требуется больше одного электрона, но ведь это не так! Электрон [представленный в виде волновой ф-ции] прекрасно может интерферировать сам с собой...
no subject
Date: 2025-08-02 09:23 am (UTC)